arccosx泰勒展开式
志在四方
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arccosx泰勒展开式:arccosx=π/2+∫(0→x)f(x)dx=π/2-(x+1/2!*x^3/3+3!/4!*x^5/5+.+(2n-1)!/(2n)!*x^(2n+1)/(2n+1)+.)。
令f(x)=(arccosx)'=-1/√(1-x^2)
f(0)=-1
则f'(x)=-x/(1-x^2)^(3/2)=x/(1-x^2)*f(x)
f'(0)=0
即(1-x^2)f'(x)=xf(x)
两边求n阶导:(1-x^2)f^(n+1)(x)-2nxf^(n)(x)-n(n-1)f^(n-1)(x)=xf^(n)(x)+nf^(n-1)(x)
令x=0:f^(n+1)(0)-n(n-1)f^(n-1)(0)=nf^(n-1)(0)
f^(n+1)(0)=n^2f^(n-1)(0)
念不明你的信 2023-08-30 14:47:24
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