高三数学练习题及答案：导数及其应用

一、填空题

1.当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数________.(填序号)

①在[x0，x1]上的平均变化率;

②在x0处的变化率;

③在x1处的变化率;

④以上都不对.

2.设函数y=f(x)，当自变量x由x0改变到x0+Δx时，函数的增量Δy=______________.

3.已知函数f(x)=2x2-1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx，f(1+Δx))，则ΔyΔx=________.

4.某物体做运动规律是s=s(t)，则该物体在t到t+Δt这段时间内的平均速度是______________.

5.如图，函数y=f(x)在A，B两点间的平均变化率是________.

6.已知函数y=f(x)=x2+1，在x=2，Δx=0.1时，Δy的值为________.

7.过曲线y=2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______.

8.若一质点M按规律s(t)=8+t2运动，则该质点在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度是________.

二、解答题

9.已知函数f(x)=x2-2x，分别计算函数在区间[-3，-1]，[2,4]上的平均变化率.

10.过曲线y=f(x)=x3上两点P(1,1)和Q(1+Δx，1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.

能力提升

11.

甲、乙二人跑步路程与时间关系如右图所示，试问甲、乙二人哪一个跑得快

12.函数f(x)=x2+2x在[0，a]上的平均变化率是函数g(x)=2x-3在[2,3]上的平均变化率的2倍，求a的值.

参考答案

1.①

2.f(x0+Δx)-f(x0)

3.4+2Δx

解析Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2-1-2×12+1=4Δx+2(Δx)2，

∴ΔyΔx=4Δx+2(Δx)2Δx=4+2Δx.

4.s(t+Δt)-s(t)Δt

解析由平均速度的定义可知，物体在t到t+Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比.

所以v=ΔsΔt=s(t+Δt)-s(t)Δt.

5.-1

解析ΔyΔx=f(3)-f(1)3-1=1-32=-1.

6.0.41

7.1

解析由平均变化率的几何意义知k=2-11-0=1.

8.4.1

解析质点在区间[2,2.1]内的平均速度可由ΔsΔt求得，即v=ΔsΔt=s(2.1)-s(2)0.1=4.1.

9.解函数f(x)在[-3，-1]上的平均变化率为：

f(-1)-f(-3)(-1)-(-3)

=[(-1)2-2×(-1)]-[(-3)2-2×(-3)]2=-6.

函数f(x)在[2,4]上的平均变化率为：

f(4)-f(2)4-2=(42-2×4)-(22-2×2)2=4.

10.解∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)3-1

=3Δx+3(Δx)2+(Δx)3，

∴割线PQ的斜率

ΔyΔx=(Δx)3+3(Δx)2+3ΔxΔx=(Δx)2+3Δx+3.

当Δx=0.1时，割线PQ的斜率为k，

则k=ΔyΔx=(0.1)2+3×0.1+3=3.31.

∴当Δx=0.1时割线的斜率为3.31.

11.解乙跑的快.因为在相同的时间内，甲跑的路程小于乙跑的路程，即甲的平均速度比乙的平均速度小.

12.解函数f(x)在[0，a]上的平均变化率为

f(a)-f(0)a-0=a2+2aa=a+2.

函数g(x)在[2,3]上的平均变化率为

g(3)-g(2)3-2=(2×3-3)-(2×2-3)1=2.

∵a+2=2×2，∴a=2.