什么是数学归纳法?
若水出尘
精选回答
证明与自然数n有关的命题的一种方法,其步骤为:(1)验证当n=n0(n0为某一自然数)时,命题P(n)成立;(2)假定当n=k时,命题P(n)成立,可推出当n=k 1时,命题P(n)亦成立。
由上断定:对于一切n≥n0的自然数,命题P(n)成立。当n0=1时,则对于一切自然数,命题p(n)成立。例如,求证1 3 5 … (2n-1)=n2(1)证明:(1)当n=1时,(1)式成立;(2)假定当n=k时,(1)式成立,即1 3 5 … (2k-1)=k2,则当n=k 1时,1 3 5 … (2k-1) [2(k 1)-1]=k2 [2(k 1)-1]=k2 2K 1=(k 1)2即(1)式成立。故对所有的自然数n,(1)式都成立。
数学归纳法可帮助我们认识客观事物,由简到繁,由有限到无限。数学归纳法于16世纪被引入。
1575年,莫罗利克斯(Maurolycus,F.)在《算术》中提出了数学归纳法。后来,皮亚诺(Peano,G.)提出了关于自然数的五个公理,其中第五个公理:“若一个由自然数组成的集合N含有1,又若当N含有任一数k时,它一定也含有k的后继者,则N就含有全部自然数。”就是数学归纳法公理。这样便为数学归纳法提供了可靠的根据。
春天的风 2023-09-17 13:59:59
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