牛顿第二定律

牛顿第二定律用微积分怎么推导？

牛顿第二运动定律的微积分公式原来在学校学过，因涉及面较广难以说清，故在网上下载了一段，具体可见下部分内容:牛顿第二运动定律 Newton's second law of motion 1．定律内容：物体的加速度跟物体所受的合外力F成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同。

而以物理学的观点来看，牛顿运动第二定律亦可以表述为“物体随时间变化之动量变化率和所受外力之和成正比”。

即动量对时间的一阶导数等于外力之和。

2．公式：F合=ma 牛顿原始公式：F=Δ(mv)/Δt（见牛顿《自然哲学之数学原理》）。

即，作用力正比于物体动量的变化率，这也叫动量定理。

在相对论中F=ma是不成立的，因为质量随速度改变，而F=Δ(mv)/Δt依然使用。

3．几点说明： （1）牛顿第二定律是力的瞬时作用规律。

力和加速度同时产生、同时变化、同时消失。

（2）F=ma是一个矢量方程，应用时应规定正方向，凡与正方向相同的力或加速度均取正值，反之取负值，一般常取加速度的方向为正方向。

（3）根据力的独立作用原理，用牛顿第二定律处理物体在一个平面内运动的问题时，可将物本所受各力正交分解[1]，在两个互相垂直的方向上分别应用牛顿第二定律的分量形式：Fx=max，Fy=may列方程。

4.牛顿第二定律的六个性质： （1）因果性：力是产生加速度的原因。

（2）矢量性：力和加速度都是矢量，物体加速度方向由物体所受核外力的方向决定。

牛顿第二定律数学表达式∑F = ma中，等号不仅表示左右两边数值相等，也表示方向一致，即物体加速度方向与所受合外力方向相同。

（3）瞬时性：当物体（质量一定）所受外力发生突然变化时，作为由力决定的加速度的大小和方向也要同时发生突变；当合外力为零时，加速度同时为零，加速度与合外力保持一一对应关系。

牛顿第二定律是一个瞬时对应的规律，表明了力的瞬间效应。

（4）相对性：自然界中存在着一种坐标系，在这种坐标系中，当物体不受力时将保持匀速直线运动或静止状态，这样的坐标系叫惯性参照系。

地面和相对于地面静止或作匀速直线运动的物体可以看作是惯性参照系，牛顿定律只在惯性参照系中才成立。

（5）独立性：作用在物体上的各个力，都能各自独立产生一个加速度，各个力产生的加速度的矢量和等于合外力产生的加速度。

（6）同一性：a与F与同一物体某一状态相对应。

[编辑本段]牛顿第二定律的适用范围 1.当考察物体的运动线度可以和该物体的德布罗意波长相比拟时，由于测不准原理，物体的动量和位置已经是不能同时准确获知的量了，因而牛顿动力学方程缺少准确的初始条件无法求解。

也就是说经典的描述方法由于测不准原理已经失效或者需要修改。

量子力学用希尔伯特空间中的态矢概念代替位置和动量（或速度）的概念来描述物体的状态，用薛定谔方程代替牛顿动力学方程（即含有力场具体形式的牛顿第二定律）。

用态矢代替位置和动量的原因是由于测不准原理我们无法同时知道位置和动量的准确信息，但是我们可以知道位置和动量的概率分布，测不准原理对测量精度的限制就在于两者的概率分布上有一个确定的关系。

2.由于牛顿动力学方程不是洛伦兹协变的，因而不能和狭义相对论相容，因而当物体做高速移动时需要修改力，速度，等力学变量的定义，使动力学方程能够满足洛伦兹协变的要求，在物理预言上也会随速度接近光速而与经典力学有不同。

但我们仍可以引入“惯性”使牛顿第二定律的表示形式在非惯性系中使用。

例如：如果有一相对地面以加速度为a做直线运动的车厢,车厢地板上放有质量为m的小球,设小球所受的合外力为F,相对车厢的加速度为a',以车厢为参考系,显然牛顿运动定律不成立.即 F=ma'不成立 若以地面为参考系,可得 F=ma对地 式中,a对地是小球相对地面的加速度.由运动的相对性可知 a对地=a+a' 将此式带入上式,有 F=m(a+a')=ma+ma' 则有 F+(-ma)=ma' 故此时,引入Fo=-ma,称为惯性力,则F+Fo=ma' 此即为在非惯性系中使用的牛顿第二定律的表达形式. 由此,在非惯性系中应用牛顿第二定律时,除了真正的和外力外,还必须引入惯性力Fo=-ma,它的方向与非惯性系相对惯性系(地面)的加速度a的方向相反,大小等于被研究物体的质量乘以a。

注意： 当物体的质量m一定时，物体所受合外力F与物体的加速度a是成正比的是错误的，因为是合力决定加速度。

但当说是物体的质量m一定时，物体的加速度a与物体所受合外力F成正比时则是正确的。

解题技巧： 应用牛顿第二定律解题时，首先分析受力情况，运动图景，列出各个方向（一般为正交分解）的受力的方程与运动方程。

同时，寻找题目中的几何约束条件（如沿绳速度相等等）列出约束方程。

联立各方程得到物体的运动学方程，然后依据题目要求积分求出位移、速度等。

简单说一下啊，完整的可不敢说，那个看懂的都得是博士水平，我也写不出来。

首先，F=ma不是牛顿说的，是马赫说的，马赫是谁，怼天怼地怼空气，一辈子谁也不服，实证主义大师，怼翻牛顿，直接启发爱因斯坦，爱因斯坦称其为老师，他的教子就是惊才绝艳的泡利，号称爱因斯坦继承人，一辈子也是怼天怼地怼空气，除了爱因斯坦谁也不服，为什么马赫要提出F=ma呢，因为要照顾我们这些普通人啊，因为牛顿的提法太复杂了。

其次，现在说牛顿的原始形式，先说动量定理啊，这是物理学的基本原理，不但在经典力学就是牛顿力学的环境下成立，在量子力学中照样成立动量定理怎么说的？冲量的变化量等于动量的变化量，用公式表示就是F（t1－t2）=m1v1－m2v2，但是这个要求时间还是速度的变化量可以计量啊，爵爷不是有微积分啊，要求是趋近于无限小的变化量，所以爵爷把动量定理改了一下，就成了Fdt=dmv，d是微分符号，那两边都除以一下dt，就变成了F=dmv/dt。

看仔细了啊，m还在微分里面呢，但是一般认为质量是不变的，记住这句话，等会儿有用啊。

那么公式就变成了这样，F=mdv/dt，m作为常数提了出来，速度相对于时间的变化量是什么呢？当然就是加速度了，所以就变成了大家容易理解的F=ma。

第三：刚才说过了，爵爷认为质量m是固定的，是不变的，然而是真的吗？爱因斯坦说不是，质量是随着速度的增加而增大的，这就是洛伦兹变换，所以说啊，在爵爷的公式中是包含相对论思想的，只是在低速宏观状态下，质量的变化极小，可以忽略。

这就是爵爷推导第二定律的思路，仅仅是思路，过程要复杂到不可想象，我也不会，大家将就着了解一下爵爷的伟大思想就可以了。