中考数学精学巧练备考秘籍第5章图形的性质第29课时

中考数学精学巧练备考秘籍第5章图形的性质第29课时本文简介：第5章图形的性质【精学】考点一、矩形1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形

中考数学精学巧练备考秘籍第5章图形的性质第29课时本文内容：

第5章

图形的性质

【精学】

考点一、矩形

1、矩形的概念

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质

（1）具有平行四边形的一切性质

（2）矩形的四个角都是直角

（3）矩形的对角线相等

（4）矩形是轴对称图形

3、矩形的判定

（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形

（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形

（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形

4、矩形的面积

S矩形=长×宽=ab

考点二、菱形

1、菱形的概念

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

2、菱形的性质

（1）具有平行四边形的一切性质

（2）菱形的四条边相等

（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

（4）菱形是轴对称图形

3、菱形的判定

（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形

（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形

（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形

4、菱形的面积

S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半

考点三、正方形

1、正方形的概念

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、正方形的性质

（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质

（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等

（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角

（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴

（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形

（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

3、正方形的判定

（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：

先证它是矩形，再证有一组邻边相等。

先证它是菱形，再证有一个角是直角。

（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：

先证明它是平行四边形；

再证明它是菱形（或矩形）；

最后证明它是矩形（或菱形）

4、正方形的面积

设正方形边长为a，对角线长为b

S正方形=

【巧练】

题型一、矩形的性质及判定的应用

例1.（2016广东广州）如图，矩形的对角线相交于点,若，

求的度数.

【答案】∠ABD=60°.

【解析】

试题分析：根据矩形的对角线相等且互相平分可得：AO=BO，则△AOB为等边三角形，进而得到∠ABD=60°.

试题解析：

∵

四边形ABCD为矩形

∴AO=BO

又∵AB=AO

∴AB=AO=BO

∴△ABD为等边三角形

∴∠ABD=60°

题型二、菱形的性质及判定的应用

例2．（2016?兰州）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD=2，DE=2，则四边形OCED的面积（

）

A．2

B．4

C．4

D．8

【答案】A

【分析】连接OE，与DC交于点F，由四边形ABCD为矩形得到对角线互相平分且相等，进而得到OD=OC，再由两组对边分别平行的四边形为平行四边形得到ODEC为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形ODEC为菱形，得到对角线互相平分且垂直，求出菱形OCEF的面积即可．

【解答】解：连接OE，与DC交于点F，

∵四边形ABCD为矩形，

∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，即OA=OB=OC=OD，

∵OD∥CE，OC∥DE，

∴四边形ODEC为平行四边形，

∵OD=OC，

∴四边形ODEC为菱形，

∴DF=CF，OF=EF，DC⊥OE，

∵DE∥OA，且DE=OA，

∴四边形ADEO为平行四边形，

∵AD=2，DE=2，

∴OE=2，即OF=EF=，

在Rt△DEF中，根据勾股定理得：DF==1，即DC=2，

则S菱形ODEC=OE?DC=×2×2=2．

故选A

【点评】此题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键．

题型三、正方形的性质及判定的应用

例3．（2016?郴州）如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB=∠CFD=90°，AE=CF=5，BE=DF=12，则EF的长是（

）

A．7

B．8

C．7

D．7

【答案】C

【分析】由正方形的性质得出∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=AD，由SSS证明△ABE≌△CDF，得出∠ABE=∠CDF，证出∠ABE=∠DAG=∠CDF=∠BCH，由AAS证明△ABE≌△ADG，得出AE=DG，BE=AG，同理：AE=DG=CF=BH=5，BE=AG=DF=CH=12，得出EG=GF=FH=EF=7，证出四边形EGFH是正方形，即可得出结果．

【解答】解：如图所示：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=AD，

∴∠BAE+∠DAG=90°，

在△ABE和△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（SSS），

∴∠ABE=∠CDF，

∵∠AEB=∠CFD=90°，

∴∠ABE+∠BAE=90°，

∴∠ABE=∠DAG=∠CDF，

同理：∠ABE=∠DAG=∠CDF=∠BCH，

∴∠DAG+∠ADG=∠CDF+∠ADG=90°，

即∠DGA=90°，

同理：∠CHB=90°，

在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG（AAS），

∴AE=DG，BE=AG，

同理：AE=DG=CF=BH=5，BE=AG=DF=CH=12，

∴EG=GF=FH=EF=12﹣5=7，

∵∠GEH=180°﹣90°=90°，

∴四边形EGFH是正方形，

∴EF=EG=7；

故选：C．

【点评】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．

【限时突破】

1.（2016河北）关于ABCD的叙述，正确的是（

）

A．若AB⊥BC，则ABCD是菱形

B．若AC⊥BD，则ABCD是正方形

C．若AC=BD，则

ABCD是矩形

D．若AB=AD，则ABCD是正方形

2.（2016山东枣庄）如图，四边形ABCD是菱形，，，于H，则DH等于（

）

A．

B．

C．5

D．4

3．（2016?攀枝花）下列关于矩形的说法中正确的是（

）

A．对角线相等的四边形是矩形

B．矩形的对角线相等且互相平分

C．对角线互相平分的四边形是矩形

D．矩形的对角线互相垂直且平分

4．（2016?绥化）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED的周长为（

）

A．4

B．8

C．10

D．12

5.（2016·黑龙江龙东）如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件

，使四边形DBCE是矩形．

6．（2016吉林省长春市）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为（﹣1，1），顶点B在第一象限，若点B在直线y=kx+3上，则k的值为

．

7．（2016山东省菏泽市）如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接BE，则tan∠EBC=

．

8.

（2016·四川达州）如图，在?ABCD中，已知AD＞AB．

（1）实践与操作：作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF=AB，连接EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）猜想并证明：猜想四边形ABEF的形状，并给予证明．

9.（2016山东滨州）如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG．

（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；

（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=2，点H是BD上的一个动点，求HG+HC的最小值．

【答案解析】

1.【答案】C.

【解析】

试题分析：根据矩形的判定可得A、C项应是矩形；根据菱形的判定可得B、D项应是菱形,故答案选C.

2.【答案】A.

【解析】

试题分析：如图，四边形ABCD是菱形，AC=8,BD

=6，根据菱形的性质可得OA=4，OB=3，由勾股定理可得AB

=5，再由,即可求得·故答案选A.

3.【分析】根据矩形的性质和判定定理逐个判断即可．

【解答】解：A、对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误；

B、矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确；

C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项错误；

D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；

故选B．

【点评】本题考查了矩形的性质和判定的应用，能熟记矩形的性质和判定定理是解此题的关键．

4.【分析】由四边形ABCD为矩形，得到对角线互相平分且相等，得到OD=OC，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形DECO为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形DECO为菱形，根据AC的长求出OC的长，即可确定出其周长

【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，

∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，

∴OA=OB=OC=OD=2，

∵CE∥BD，DE∥AC，

∴四边形DECO为平行四边形，

∵OD=OC，

∴四边形DECO为菱形，

∴OD=DE=EC=OC=2，

则四边形OCED的周长为2+2+2+2=8，

故选B

【点评】此题考查了矩形的性质，以及菱形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．

5.【分析】利用平行四边形的判定与性质得到四边形DBCE为平行四边形，结合“对角线相等的平行四边形为矩形”来添加条件即可．

【解答】解：添加EB=DC．理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，且AD=BC，

∴DE∥BC，

又∵DE=AD，

∴DE=BC，

∴四边形DBCE为平行四边形．

又∵EB=DC，

∴四边形DBCE是矩形．

故答案是：EB=DC．

6.【答案】﹣2．

【解析】

试题分析：∵正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A坐标为（-1,1），∴B（1,1）

1).∵点B在直线y=kx＋3上，∴1=k+3，解得k＝一2

考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．正方形的性质．

7.【答案】．

【解析】

试题分析：作EF⊥BC于F，如图，设DE=CE=a，∵△CDE为等腰直角三角形，∴CD=CE=a，∠DCE=45°，∵四边形ABCD为正方形，∴CB=CD=a，∠BCD=90°，∴∠ECF=45°，∴△CEF为等腰直角三角形，∴CF=EF=CE=a，在Rt△BEF中，tan∠EBF===，即∠EBC=．

故答案为：．

8.【分析】（1）由角平分线的作法容易得出结果，在AD上截取AF=AB，连接EF；画出图形即可；

（2）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠AEB，证出BE=AB，由（1）得：AF=AB，得出BE=AF，即可得出结论．

【解答】解：（1）如图所示：

（2）四边形ABEF是菱形；理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠DAE=∠AEB，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE，

∴∠BAE=∠AEB，

∴BE=AB，

由（1）得：AF=AB，

∴BE=AF，

又∵BE∥AF，

∴四边形ABEF是平行四边形，

∵AF=AB，

∴四边形ABEF是菱形．

9.【答案】(1)四边形EBGD是菱形，理由见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）四边形EBGD是菱形，根据已知条件易证△EFD≌△GFB，可得ED=BG，所以BE=ED=DG=GB，即可判定四边形EBGD是菱形．（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接EC交BD于点H，此时HG+HC最小，在RT△EMC中，求出EM、MC即可解决问题．

试题解析：（1）四边形EBGD是菱形．

理由：∵EG垂直平分BD，

∴EB=ED，GB=GD，

∴∠EBD=∠EDB，

∵∠EBD=∠DBC，

∴∠EDF=∠GBF，

在△EFD和△GFB中，

，

∴△EFD≌△GFB，

∴ED=BG，

∴BE=ED=DG=GB，

∴四边形EBGD是菱形．

（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接EC交BD于点H，此时HG+HC最小，

在RT△EBM中，∵∠EMB=90°，∠EBM=30°，EB=ED=2，

∴EM=BE=，

∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，

∴EM∥DN，EM=DN=，MN=DE=2，

在RT△DNC中，∵∠DNC=90°，∠DCN=45°，

∴∠NDC=∠NCD=45°，

∴DN=NC=，

∴MC=3，

在RT△EMC中，∵∠EMC=90°，EM=．MC=3，

∴EC===10．

∵HG+HC=EH+HC=EC，

∴HG+HC的最小值为10．

考点：平行四边形的判定和性质；菱形的判定和性质；角平分线的性质；垂直平分线的性质；勾股定理.