届高考数学复习专题七第3讲突破压轴题学案

2019届高考数学复习专题七第3讲突破压轴题学案本文简介：第3讲突破压轴题全国高考卷客观题满分80分，共16题，决定了整个高考试卷的成败，要突破“瓶颈题”就必须在两类客观题第10，11，12，15，16题中有较大收获，分析近三年高考，必须从以下几个方面有所突破，才能实现“柳暗花明又一村”，做到保“本”冲“优”.压轴热点一函数的图象、性质及其应用【例1】(2

2019届高考数学复习专题七第3讲突破压轴题学案本文内容：

第3讲突破压轴题

全国高考卷客观题满分80分，共16题，决定了整个高考试卷的成败，要突破“瓶颈题”就必须在两类客观题第10，11，12，15，16题中有较大收获，分析近三年高考，必须从以下几个方面有所突破，才能实现“柳暗花明又一村”，做到保“本”冲“优”.

压轴热点一

函数的图象、性质及其应用

【例1】(2019·龙岩期末)设函数是定义在上的奇函数，满足，若，，则实数的取值范围是（）

A．B．C．D．

解析由，可得，则，故函数的周期为4，则，

又因为是定义在上的奇函数，，所以,所以，解得，故答案为A.

【训练1】(2016·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则(xi＋yi)＝(

)

A.0B.mC.2mD.4m

解析

法一

由题设得(f(x)＋f(－x))＝1，点(x，f(x))与点(－x，f(－x))关于点(0，1)对称，则y＝f(x)的图象关于点(0，1)对称.又y＝＝1＋，x≠0的图象也关于点(0，1)对称.

则交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)成对出现，且每一对关于点(0，1)对称.

则(xi＋yi)＝xi＋yi＝0＋×2＝m，故选B.

法二

特殊函数法，根据f(－x)＝2－f(x)可设函数f(x)＝x＋1，联立y＝，解得两个点的坐标为或此时m＝2，所以(xi＋yi)＝2＝m，故选B.

答案

B

压轴热点二

直线与圆的位置关系

【例2】(2019·张家口期末)圆：与轴正半轴交点为，圆上的点，分别位于第一、二象限，并且，若点的坐标为，则点的坐标为（）

A．B．C．D．

解析由题意知，，设的坐标为,则,,,因为，所以，即，又，

联立解得或，因为B在第二象限，故只有满足，即.

故答案为B.

【训练2】已知P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积为2，则k的值为________.

解析

由圆的方程得x2＋(y－1)2＝1，所以圆心为C(0，1)，半径r＝1，

四边形PACB的面积S＝2S△PBC，因为四边形PACB的最小面积为2，所以S△PBC的最小值为1，而S△PBC＝r·PB，即PB的最小值为2，

此时PC最小为圆心到直线的距离，此时d＝＝＝，则k2＝4，因为k>0，所以k＝2.

答案

2

压轴热点三

圆锥曲线及其性质

【例3】

(2019·济南模拟)已知椭圆的左右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，，连接轴于点，若，则该椭圆的离心率为(

)

A．B．C．D．

解析设，．如图所示，由题意可得：，

∴．则，，n＝3m．化为：m2，n2＝9m2＝6b2．

∴6b2＝4c2．∴c2，化为．故选D．

【训练3】(2017·唐山一模)已知双曲线C：x2－＝1的右顶点为A，过右焦点F的直线l与C的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点B，则S△ABF＝(

)

A.B.C.D.

解析

由双曲线C：x2－＝1，得a2＝1，b2＝3.∴c＝＝2.

∴A(1，0)，F(2，0)，渐近线方程为y＝±x，

不妨设BF的方程为y＝(x－2)，代入方程y＝－x，解得：B(1，－).

∴S△AFB＝|AF|·|yB|＝·1·＝.

答案

B

压轴热点四

不等式及基本不等式的应用

【例4】

(2019·聊城一中)已知是内的一点，且，，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为1，，，则的最小值是（）

A．2B．8C．6D．3

解析∵，，∴，化为．

∴．∴．则，

而，

当且仅当，即时取等号，故的最小值是9，故选D．

【训练4】已知一元二次不等式f(x)0的解集为(

)

A.{x|x－ln

3}B.{x|x>－ln

3}C.{x|－10，得－10)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P是双曲线在第一象限内的点，直线PO，PF2分别交双曲线C的左、右支于另一点M，N，若|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝120°，则双曲线的离心率为(

)

A.B.C.D.

3.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细.在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i段的重量为ai(i＝1，2，…，10)，且a1

1.

(2019·厦门期末)函数，当时，，则的最小值是（）

A．1B．2C．D．

2.已知数列{an}为等差数列，且a1≥1，a2≤5，a5≥8，设数列{an}的前n项和为Sn，S15的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝(

)

A.500B.600C.700D.800

3.

(2019·肇庆一模)已知椭圆的左右顶点分别为，是椭圆上异于的一点，若直线的斜率与直线的斜率乘积，则椭圆的离心率为（）

A．B．C．D．

参考答案

1.【解题思路】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.

【答案】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，

所以在正方体中，平面与线所成的角是相等的，

所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，

同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，

要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的，

且过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积为，故选A.

2.【解题思路】首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到，根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为或，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得，，利用两点间距离同时求得的值.

【答案】根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，从而得到，

所以直线的倾斜角为或，

根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，

分别与两条渐近线和联立，求得，，

所以，故选B.

3.【解题思路】首先对函数进行求导，化简求得，从而确定出函数的单调区间，减区间为，增区间为，确定出函数的最小值点，从而求得代入求得函数的最小值.

【答案】，所以当时函数单调减，当时函数单调增，从而得到函数的减区间为，函数的增区间为，所以当时，函数取得最小值，此时，所以，故答案是.

1.【解题思路】根据条件构造函数，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论

【答案】不等式可化为：，

令，∴，

又∴恒成立，故在上单调递增，

又，∴等价于，

由在上单调递增可得：，

所以不等式的解集为，故选A．

2.【解题思路】由题意，|PF1|＝2|PF2|，由双曲线的定义可得，|PF1|－|PF2|＝2a，

可得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，又|F1O|＝|F2O|，|PO|＝|MO|，

得四边形PF1MF2为平行四边形，所以PF1∥F2M，

又∠MF2N＝120°，可得∠F1PF2＝120°，

在△PF1F2中，由余弦定理得4c2＝16a2＋4a2－2·4a·2a·cos

120°，

则4c2＝20a2＋8a2，即c2＝7a2，得c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝.

【答案】B

3.【解题思路】根据题意知，由细到粗每段的重量成等差数列，记为{an}，设公差为d，则解得a1＝，d＝.所以该金杖的总重量M＝10×＋×＝15，

因为48ai＝5M，所以48＝75，即39＋6i＝75，解得i＝6.

【答案】6

1.【解题思路】依题意，由，得，利用集合的包含关系，得到所以，得，进而可求得结果.

【答案】因为，所以，

依题意，由即，得

所以，

所以，整理得，

又，所以，所以，

所以的最小值为2.

2.【解题思路】由题意，可知公差最大值时，S15最大；公差最小时，S15最小.

可得a1＝1，a2＝5，此时公差d＝4是最大值，M＝S15＝1×15＋×4＝435.

当a2＝5，a5＝8，此时d＝1是最小值，a1＝4，m＝S15＝4×15＋×1＝165.M＋m＝435＋165＝600.

【答案】B

3.【解题思路】设出点坐标，代入椭圆方程，得到一个等式；代入，得到另一个等式，对比这两个等式求得的值，由此求得离心率的值.

【答案】依题意可知，.设，代入椭圆方程得.代入得，即，与对比后可得，

所以椭圆离心率为.故选D.