高考真题理科数学全国卷

高考真题理科数学全国卷本文简介：理科数学2017年高三2017年全国丙卷理科数学理科数学考试时间：____分钟题型单选题填空题简答题总分得分单选题（本大题共12小题，每小题____分，共____分。）1．已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为()A.3B.2C.1D.02．设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=()A.B.C

高考真题理科数学全国卷本文内容：

理科数学

2017年高三2017年全国丙卷理科数学

理科数学

考试时间：____分钟

题型

单选题

填空题

简答题

总分

得分

单选题

（本大题共12小题，每小题____分，共____分。）

1．已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为(

)

A.

3

B.

2

C.

1

D.

0

2．设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=(

)

A.

B.

C.

D.

2

3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是(

)

A.

月接待游客量逐月增加

B.

年接待游客量逐年增加

C.

各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D.

各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

4．的展开式中的系数为(

)

A.

B.

C.

40

D.

80

5．已知双曲线C：

(a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则C的方程为(

)

A.

B.

C.

D.

6．设函数，则下列结论错误的是(

)

A.

的一个周期为

B.

的图像关于直线对称

C.

的一个零点为

D.

在(,)单调递减

7．执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为(

)

A.

5

B.

4

C.

3

D.

2

8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(

)

A.

B.

C.

D.

9．等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为(

)

A.

B.

C.

3

D.

8

10．已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为(

)

A.

B.

C.

D.

11．已知函数有唯一零点，则a=(

)

A.

B.

C.

D.

1

12．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若，则的最大值为(

)

A.

3

B.

2

C.

D.

2

填空题

（本大题共4小题，每小题____分，共____分。）

13．若，满足约束条件，则的最小值为__________.

14．设等比数列满足a1

+

a2

=

–1,a1

–

a3

=

–3，则a4

=

___________.

15．设函数，则满足的x的取值范围是_________.

16．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；

②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；

③直线AB与a所成角的最小值为45°；

④直线AB与a所成角的最大值为60°.

其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）

简答题（综合题）

（本大题共7小题，每小题____分，共____分。）

17．（12分）

的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，a=2,b=2.

（1）求c；

（2）设D为BC边上一点，且ADAC,求△ABD的面积.

18．（12分）

某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？

19．（12分）

如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．

（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.

20．（12分）

已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.

（1）证明：坐标原点O在圆M上；

（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.

21．（12分）

已知函数.

（1）若，求a的值；

（2）设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值.

22．选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

[选修44：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.

（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为l3与C的交点，求M的极径.

23．选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

[选修45：不等式选讲]（10分）

已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│.

（1）求不等式f（x）≥1的解集；

（2）若不等式的解集非空，求m的取值范围.

答案

单选题

1.

B

2.

C

3.

A

4.

C

5.

B

6.

D

7.

D

8.

B

9.

A

10.

A

11.

C

12.

A

填空题

13.

14.

15.

16.

②③.

简答题

17.

(1)

(2)

18.

(1)分布列略；(2)

n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.

19.

(1)证明略；(2)

.

20.

(1)证明略；(2)见解析

21.

(1)a=1；

(2)

3

22.

（1）；（2）

23.

（1）；（2）

解析

单选题

1.

由题意可得：圆与直线相交于两点，，则中

有2个元素.故选B.

2.

由题意可得，由复数求模的法则可得，则.故选C.

3.

由折线图，每年7月到8月折线图呈下降趋势，月接待游客量减少，选项A说法错误.故选A.

4.

由展开式的通项公式可得：当时，展开式的系数为，

当时，展开式的系数为，

则的系数为80－40＝40，故选C.

5.

双曲线C：

(a＞0,b＞0)的渐近线方程为

，

椭圆中：

，椭圆，双曲线的焦点为

，

据此可得双曲线中的方程组：

，解得：

，

则双曲线

的方程为

.

6.

当

时，

，函数在该区间内不单调.故选D.

7.

阅读程序框图，程序运行如下：

首先初始化数值：，然后进入循环体：

此时应满足，执行循环语句：；

此时应满足，执行循环语句：；

此时满足，可以跳出循环，则输入的正整数N的最小值为2.

故选D.

8.

绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：，

结合勾股定理，底面半径，

由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是，故选B.

9.

设等差数列的公差为，且，，，又，所以，，故选A.

10.

以线段为直径的圆是，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，整理为，即，即

，，故选A.

11.

函数的零点满足，

设，则，

当时，，当时，，函数

单调递减，

当时，，函数

单调递增，

当时，函数取得最小值，

设

，当时，函数取得最小值

，

若，函数与函数没有交点，

当，时，此时函数与函数有一个交点，

即，解得，故选C.

12.

如图，建立平面直角坐标系.

设,易得圆的半径，即圆C的方程是，

，若满足，

则

，，所以，

设，即，点在圆上，

所以圆心到直线的距离，即，解得，

所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A.

填空题

13.

作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示.

目标函数即，易知直线在轴上的截距最大时，目标函数取得最小值，数形结合可得目标函数在点处取得最小值，为.

14.

由题意可得：

，解得：

，则

15.

由题意：

，函数

在区间

三段区间内均单调递增，且

，

可知x的取值范围是：

.

16.

由题意，AB是以AC为轴，BC为底面半径的圆锥的母线，由，即AC垂直底面，在底面内可以过点B，作，交底面圆C于D，如图，连结DE，则，所以，连接AD，等腰△ABD中，，当直线AB与a成60o时，∠ABD＝60o，故，又在Rt△BDE中，BE＝2，，过点B作BF//DE，交圆C于点F，连接AF，由圆的对称性可知BF＝DE＝，所以△ABF为等边三角形，∠ABF＝60o，即②正确，①错误，由最小角定理可知③正确，很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，直线AB与a成的最大角为90o，④错误

简答题

17.

（1）由已知得

，所以

.

在

△ABC中，由余弦定理得

，即

.

解得：

(舍去)，

.

（2）有题设可得

故△ABD面积与△ACD面积的比值为

又△ABC的面积为

18.

（1）由题意知，所有可能取值为200,300,500，由表格数据知

，，.

因此的分布列为

（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑.

当时，

若最高气温不低于25，则；

若最高气温位于区间，则；

若最高气温低于20，则；

因此.

当时，

若最高气温不低于20，则；

若最高气温低于20，则；

因此.

所以n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.

19.

（1）由题设可得，，从而.

又是直角三角形，所以.

取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO.

又由于是正三角形，故.

所以为二面角的平面角.

在中，.

又，所以，

故.

所以平面ACD⊥平面ABC.

（2）由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.则.

由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得.

故.

设是平面DAE的法向量，则即

可取.

设是平面AEC的法向量，则同理可取.

则.

所以二面角D-AE-C的余弦值为.

20.

（1）设

由可得

又=4

因此OA的斜率与OB的斜率之积为

所以OA⊥OB，

故坐标原点O在圆M上.

（2）由（1）可得.

故圆心的坐标为，圆的半径.

由于圆过点，因此，故，

即，

由（1）可得.

所以，解得或.

当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为.

当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆

的方程为.

21.

（1）的定义域为.

①若，因为，所以不满足题意；

②若，由知，当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，故x=a是在的唯一最小值点.

由于，所以当且仅当a=1时，.故a=1.

（2）由（1）知当时，.

令得.从而

.

故.

而，所以的最小值为.

22.

（1）消去参数得的普通方程；消去参数m得l2的普通方程.

设,由题设得，消去k得.

所以C的普通方程为.

（2）C的极坐标方程为.

联立得.

故，从而.

代入得，所以交点M的极径为.

23.

（1）

当时，无解；

当时，由得，，解得

当时，由解得.

所以的解集为.

（2）由得，而

且当时，.

故m的取值范围为