版高考数学复习第五章平面向量5.4平面向量应用举例教师用书文北师大版

2018版高考数学复习第五章平面向量5.4平面向量应用举例教师用书文北师大版本文简介：2018版高考数学大一轮复习第五章平面向量5.4平面向量应用举例教师用书文北师大版1．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0垂直

2018版高考数学复习第五章平面向量5.4平面向量应用举例教师用书文北师大版本文内容：

2018版高考数学大一轮复习

第五章

平面向量

5.4

平面向量应用举例教师用书

文

北师大版

1．向量在平面几何中的应用

(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：

问题类型

所用知识

公式表示

线平行、点共线等问题

共线向量定理

a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0，

其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0

垂直问题

数量积的运算性质

a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0，

其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量

夹角问题

数量积的定义

cos

θ＝(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量

长度问题

数量积的定义

|a|＝＝，其中a＝(x，y)，a为非零向量

(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：

平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题．

2．向量与相关知识的交汇

平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．

【知识拓展】

1．若G是△ABC的重心，则＋＋＝0.

2．若直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(－B，A)与直线l平行．

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若∥，则A，B，C三点共线．(

√

)

(2)若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角．(

×

)

(3)在△ABC中，若·|a－b|，又|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝3，

∴|a－b|＝.

9．设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夹角为，则的最大值为________．

答案

2

解析

＝＝

＝＝

＝.

因为(＋)2＋≥，

所以的最大值为2.

10.已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，圆M：(x－2－5cos

θ)2＋(y－5sin

θ)2＝1(θ∈R)，过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点分别为E，F，则·的最小值是________．

答案

6

解析

圆(x－2)2＋y2＝4的圆心C(2,0)，半径为2，

圆M(x－2－5cos

θ)2＋(y－5sin

θ)2＝1，圆心M(2＋5cos

θ，5sin

θ)，半径为1，

∵CM＝5＞2＋1，故两圆相离．

如图所示，设直线CM和圆M交于H，G两点，

则·最小值是·，HC＝CM－1＝5－1＝4，HF＝HE＝＝＝2，

sin∠CHE＝＝，

∴cos∠EHF＝cos

2∠CHE＝1－2sin2∠CHE＝，

·＝||·||·cos∠EHF＝2×2×＝6.

11．已知向量a＝(cos

α，sin

α)，b＝(cos

β，sin

β)，00，x∈R，已知函数f(x)＝a·b的最小正周期为4π.

(1)求ω的值；

(2)若sin

x0是关于t的方程2t2－t－1＝0的根，且x0∈，求f(x0)的值．

解

(1)f(x)＝a·b＝(cos

ωx－sin

ωx，－1)·(2sin

ωx，－1)＝2sin

ωxcos

ωx－2sin2ωx＋1＝sin

2ωx＋cos

2ωx＝sin.

因为T＝4π，所以＝4π，ω＝.

(2)方程2t2－t－1＝0的两根为t1＝－，t2＝1.

因为x0∈，所以sin

x0∈(－1,1)，

所以sin

x0＝－，即x0＝－.

又由(1)知f(x0)＝sin，

所以f＝sin＝sin

＝.