届高考数学二轮复习压轴小题抢分练（二）

2019届高考数学二轮复习压轴小题抢分练（二）本文简介：压轴小题抢分练(二)压轴小题集训练,练就能力和速度,筑牢高考满分根基!一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x),且f(x)+f′(x)>1,f(1)=0,则不等式f(x)-1+≤0的解

2019届高考数学二轮复习压轴小题抢分练（二）本文内容：

压轴小题抢分练(二)

压轴小题集训练,练就能力和速度,筑牢高考满分根基!

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x),且f(x)+f′(x)>1,f(1)=0,则不等式f(x)-1+≤0的解集是(

)

A.(-∞,1]B.(-∞,0]

C.[0,+∞)D.[1,+∞)

【解析】选A.令g(x)=ex-1f(x)-ex-1+1,则:g′(x)=ex-1(f(x)+f′(x)-1),由题意可知:g′(x)>0,则函数g(x)在R上单调递增,且g(1)=1×0-1+1=0,不等式f(x)-1+≤0即ex-1f(x)-ex-1+1≤0,即:g(x)≤g(1),结合函数的单调性可得不等式的解集为:{x|x≤1}.

2.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e,过点F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A,B两点,若·=0,且∠F1AF2

=150°,则e2=(

)

A.7-2

B.7-

C.7+

D.7+2

【解析】选A.如图:

因为·=0,所以AB⊥BF2,∠F1BF2=90°,因为∠F1AF2=150°,所以∠BAF2=30°,设BF2=x,则AF2=2x,AB=x,由双曲线定义可得:F1A+AB-BF2=2a,所以F1A=2a+x-x,AF2-AF1=2a,F1A=2x-2a,故2x-2a=2a+x-x,解得x=2(-1)a,则F1B=2a,在Rt△F1BF2中,由勾股定理可得

F1B2+B=F1,即(2a)2+[2(-1)a]2=(2c)2,得(7-2)a2=c2,所以e2=7-2.

3.若关于x的不等式x(1+ln

x)+2k>kx的解集为A,且(2,+∞)?A,则整数k的最大值是(

)

A.3B.4C.5D.6

【解析】选B.关于x的不等式x(1+ln

x)+2k>kx的解集为A,且(2,+∞)?A,所以当x>2时,x(1+ln

x)>k(x-2)恒成立,即k2.

令φ(x)=x-4-2ln

x,φ′(x)=1->0,所以φ(x)在(2,+∞)上单调递增,因为φ(8)=4-2ln

80,方程φ(x)=0在(2,+∞)上存在唯一实根x0,且满足x0∈(8,9).

则φ(x0)=x0-4-2ln

x0=0,即x0-4=2ln

x0.

当x∈(2,x0)时,φ(x)0.

故h(x)在(2,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增.故h(x)的最小值为h(x0)===x02∈4,92.

所以整数k的最大值为4.

4.函数f(x)=14ln

x+x2-bx+a(b>0,a∈R)的图象在点(b,f(b))处的切线的倾斜角为α,则倾斜角α的取值范围是(

)

A.B.

C.D.

【解析】选B.依题意得f′(x)=+2x-b,f′(b)=+b≥2=1(b>0),当且仅当=b>0,即b=12时取等号,因此有tan

α≥1,≤α0,b>0)的左、右两个焦点分别为F1,F2,以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M,若|MF1|-|MF2|=2b,该双曲线的离心率为e,则e2=(

)

A.2

B.3

C.

D.5+12

【解析】选D.以线段F1F2

为直径的圆方程为x2+y2=c2,双曲线经过第一象限的渐近线方程为y=bax,联立方程

求得M(a,b),因为|MF1|-|MF2|=2b0,b>0)上,所以a2b2-b2a2=1?a2c2-a2-c2-a2a2=1,化简得e4-e2-1=0,由求根公式有e2=5+12

(负值舍去).

7.已知函数f(x)=2ln

x,g(x)=a-x2-e≤x≤-,其中e为自然对数的底数.若总可以在f(x)图象上找到一点P,在g(x)图象上找到一点Q,使得P,Q关于原点对称,则实数a的取值范围是(

)

A.1,1e2+2

B.[1,e2-2]

C.1e2+2,e2-2

D.[e2-2,+∞)

【解析】选B.由题意,若总可以在f(x)图象上找到一点P,在g(x)图象上找到一点Q,使得P,Q关于原点对称,则函数f(x)=2ln

x和函数y=x2-a有公共点,即方程2ln

x=x2-a有解,即a=x2-2ln

x有解.

令y=x2-2ln

x,则y′=2x-1x,当≤x0在区间[-200,200]上有且只有300个整数解,则实数a的取值范围是(

)

A.-ln2,-13ln6

B.-ln2,-13ln6

C.-13ln6,-3ln24

D.-13ln6,-3ln24

【解析】选D.因为偶函数f(x)满足f(4+x)=f(4-x),所以f(x+4)=f(4-x)=f(x-4),所以f(x)的周期为8,且f(x)的图象关于直线x=4对称,由于[-200,200]上含有50个周期,且f(x)在每个周期内都是轴对称图形,所以只需满足关于x的不等式f2(x)+af(x)>0在(0,4]上有3个正整数解即可.

当x∈(0,4]时,f′(x)=,所以f(x)在上单调递增,在上单调递减,因为f(1)=ln

2,f(2)>f(3)>f(4)=ln84=34ln

2>0,所以当x=k(k=1,2,3,4)时,f(x)>0,所以当a≥0时,f2(x)+af(x)>0在(0,4]上有4个正整数,不符合题意,所以a0可得f(x)-a,显然f(x)-a在(0,4]上有3个正整数解,分别为1,2,3,所以-a≥f(4)=34ln

2,-a0)的左右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),双曲线C上存在一点P,使得=ac,则双曲线C的离心率的取值范围是(

)

A.(1,1+)B.(1,1+3)

C.(1,)D.(1,)

【解析】选A.不妨设点P在双曲线的右支上,在△PF1F2中,由正弦定理得

=,所以=|PF2||PF1|=ac,所以|PF2||PF1|-|PF2|=ac-a,所以=ac-a,所以|PF2|=2a2c-a,又|PF2|>c-a,所以2a2c-a>c-a,所以c2-2ac-a20,a2+b2=1,不妨设a=cos

θ,b=sin

θ,则m=a+bab=,令t=sin

θ+cos

θ=sin∈(1,],则t2=1+2sin

θcos

θ,据此可得sin

θcos

θ=t2-12,故:m==,函数t-在(1,]上单调递增,则t-∈,据此可得:实数m

取值范围是[2,+∞).

12.已知函数f(x)=aln

x-2a2x(a>0),若方程f(f(x))=x恰好有两个实数解,则实数a的取值范围是(

)

A.(0,1)B.(e,+∞)

C.D.

【解析】选D.因为函数f(x)在(0,+∞)内单调递增,所以要使方程f(f(x))=x恰好有两个实数解,只需满足函数y=f(x)与y=x恰有两个交点,所以aln

x-2a2x=x有两个实数解.令g(x)=aln

x-2a2x-x,因为g′(x)=ax+2a2x2-1=-(x+a)(x-2a)x2,当02a时,g′(x)0,即可保证函数g(x)有两个零点,由g(2a)=aln(2a)-a-2a>0,得a>e32.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)

13.已知定义在R

上的函数f(x)

满足:①f(1+x)=f(1-x),②在[1,+∞)

上为增函数;③若x∈12,1

时,f(ax)

成立,则实数a

的取值范围为________.

【解析】因为函数f(x)满足,①f(1+x)=f(1-x),②在[1,+∞)

上为增函数;

③若x∈12,1

时,f(ax)

成立,所以f(x)关于x=1对称,所以当自变量距离对称轴x=1越近,函数值越小,因为f(ax)实数a

的取值范围为(0,2).

答案:(0,2)

14.在平面四边形ABCD中,∠A=60°,AD⊥DC,AB=,BD=2,则BC的最小长度为________.

【解析】如图所示,建立平面直角坐标系,其中A(0,0),B(,0),则点D为直线y=x与圆(x-)2+y2=4的交点,作DE⊥AD,则点C在射线DE上.

当BC⊥DE时,BC取得最小值.

在△ABD中,由正弦定理,得=BDsinA,解得sin∠ADB=34,故cos∠CDB=34,sin∠CDB==,BC取得最小值时:BC=BD×sin∠CDB=.

综上可得:BC的最小长度为.

答案:

15.设等差数列{an}的公差为d,前n项的和为Sn,若数列{}也是公差为d的等差数列,则an=________.

【解析】等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,若数列{Sn+n}也是公差为d的等差数列,所以Sn+n=+(n-1)d,所以na1+d+n

=a1+1+(n-1)2d2+2(n-1)d,n≠1时,化为a1+nd2+1

=(n-1)d2+2d,n=2时,a1+d+1=d2+2d,n=3时,a1+32d+1=2d2+2d,联立解得:

所以an=-1或an=-34+(n-1)×12=12n-54.

答案:-1或12n-54

16.设不等式组表示的平面区域为D,在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离小于2的概率是________.

【解析】区域D表示矩形,面积为3,到坐标原点的距离小于2的点位于以原点O为圆心,半径为2的圆内,图中阴影部分的面积为12×1×+×π×4=+,故所求概率为.

答案: