届高考数学二轮复习压轴大题高分练（四）解析几何D组

2019届高考数学二轮复习压轴大题高分练（四）解析几何D组本文简介：压轴大题高分练4.解析几何(D组)压轴大题集训练,练就慧眼和规范,筑牢高考高分根基!1.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(0,2),且离心率为.(1)求椭圆E的方程.(2)过(-1,0)的直线l交椭圆E于A,B两点,判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由.【解析】(

2019届高考数学二轮复习压轴大题高分练（四）解析几何D组本文内容：

压轴大题高分练

4.解析几何(D组)

压轴大题集训练,练就慧眼和规范,筑牢高考高分根基!

1.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(0,2),且离心率为.

(1)求椭圆E的方程.

(2)过(-1,0)的直线l交椭圆E于A,B两点,判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由.

【解析】(1)因为椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(0,),且离心率为.

所以

b=2,e=ca=22,a2=b2+c2,即a2=4,b2=c2=2,所以椭圆E的方程为x24+y22=1.

(2)方法一:当l的斜率为0时,显然G在以线段AB为直径的圆的外面,当l的斜率不为0时,设l的方程为x=my-1,点A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为H(x0,y0).

由得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2=,y1y2=-3m2+2,从而y0=×12=.

所以|GH|2=x0+942+y02

=+y02

=(m2+1)y02+52my0+2516.

|AB|24=(x1-x2)2+(y1-y2)24

=

=

=(m2+1)(y02-y1y2),故|GH|2-|AB|24=52my0+(m2+1)y1y2+2516

=-3(m2+1)m2+2+2516

=17m2+216(m2+2)>0,所以|GH|>|AB|2,故G在以AB为直径的圆外.

方法二:当l的斜率为0时,显然G在以线段AB为直径的圆的外面,当l的斜率不为0时,设l的方程为x=my-1,设点A(x1,y1),B(x2,y2),则=x1+94,y1,=x2+94,y2,由得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2=,y1y2=-3m2+2,所以·=x1+94x2+94+y1y2

=my1+54my2+54+y1y2

=(m2+1)y1y2+54m(y1+y2)+2516

=17m2+216(m2+2)>0,所以cos

>0,又因为,不共线,所以∠AGB为锐角,故点G在以AB为直径的圆外.

2.椭圆x2a2+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线l与椭圆交于A,B两点,当l的倾斜角为时,△F1AB是等边三角形.

(1)求椭圆的方程.

(2)若|F2A|=λ|F2B|,1≤λ≤2,求△ABF1中AB边上中线长的取值范围.

【解析】(1)由已知得:c=1,a2-b2=1,2c=×b2a,所以

2a=b2,a2-2a-=0,解得a=,b=,椭圆的方程为x23+y22=1

.

(2)①当直线l的斜率为0时,不符合题意.

②当直线l的斜率不为0时,设直线l:x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立2x2+3y2=6,x=my+1,得(2m2+3)y2+4my-4=0,则y1+y2=-4m2m2+3,y1·y2=.

△ABF1中AB边上的中线长为

12|+|=12(x1+x2+2)2+(y1+y2)2

=12[m(y1+y2)+4]2+(y1+y2)2

=124m2+122m2+32+-4m2m2+32

=

=

令t=2m2+3,则2m2=t-3,得12|+|=t2+8t+3t2=3t2+8t+1

=,由|F2A|=λ|F2B|,得y1=-λy2,-λ=y1y2,-λ-+2=y1y2+y2y1+2=(y1+y2)2y1y2=-4m22m2+3

.

因为1≤λ≤2,λ+-2=

=∈0,12,所以3≤t≤4,14≤≤13,12|+|

∈.

△ABF1中AB边上中线长的取值范围是514,2.