考点29导数的应用

考点29导数的应用本文简介：考点29导数的应用1.（2010·全国高考卷Ⅱ文科·Ｔ7）若曲线在点处的切线方程是，则（A）(B)(C)(D)【命题立意】本题考查了导数的几何意义和曲线的切线方程知识。【思路点拨】由题意知，曲线在点处的切线的斜率为1，根据导数的几何意义得y在x=0处的导数为1，再把（0，b）代入切线方程可以解出a、

考点29导数的应用本文内容：

考点29

导数的应用

1.（2010·全国高考卷Ⅱ文科·Ｔ7）若曲线在点处的切线方程是，则

（A）

(B)

(C)

(D)

【命题立意】本题考查了导数的几何意义和曲线的切线方程知识。

【思路点拨】由题意知，曲线在点处的切线的斜率为1，根据导数的几何意义得y在x=0

处的导数为1，再把（0，b）代入切线方程可以解出a

、b的值。

【规范解答】

选A，,在点处的切线方程是。

斜率为1，所以,所以.

2.（2010·全国高考卷Ⅱ理科·Ｔ10）若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则[来

（A）***

（B）32

（C）16

（D）8

【命题立意】本题主要考查了导数的几何意义，曲线的切线方程求法，考查考生的运算求解能力．

【思路点拨】先求出切线方程，然后表示出切线与两个坐标围成的三角形的面积。

【规范解答】选A，所以曲线在点处的切线：

所以，

【方法技巧】利用导数解决切线问题有两种类型：（1）“在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求导，代入点的横坐标得到斜率。（2）“过”曲线上一点的切线问题，此时该点未必是切点，

故应先设切点，再求切点坐标。

3.（2010·江西高考文科·Ｔ1７）设函数.

（1）若的两个极值点为，且，求实数的值；

（2）是否存在实数，使得是上的单调函数？若存在,求出的值；若不存在，说明理由.

【命题立意】本题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与最值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力。

【思路点拨】（1）先求导数，再借助于韦达定理建立方程求字母的值；（2）先求导数，再判

导函数在上符合是否恒定.

【规范解答】

（1）由已知有，从而，所以；

（2）由，

所以不存在实数，使得是上的单调函数.

4.（2010·江西高考理科·Ｔ１９）设函数．

（1）当时，求的单调区间；

（2）若在上的最大值为，求的值．

【命题立意】本题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与最值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力。

【思路点拨】（1）确定定义域，再求函数的导数，利用导数正负求函数的单调区间；（2）先求导，判断其正负，找最值，最后求字母的值．

【规范解答】函数的定义域为（0，2），

（1）当时，所以的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，2）；

（2）当时，

>0,即在上单调递增，故在上的最大值为因此

5.（2010·重庆高考文科·Ｔ19）已知函数

（其中常数∈R），是奇函数.

（1）求的表达式；

（2）讨论的单调性，并求在区间上的最大值与最小值.

【命题立意】本小题考查函数、奇函数的基础知识，考查函数的导数的基础知识，考查函数的单调性的判断方法，最值的求法，考查运算求解的能力，考查函数、方程的思想

【思路点拨】（1）先求出导函数，再求出,利用奇函数的定义求出待定系数；

（2）利用导数的正负来判断函数的单调性，并根据单调性求函数的值域.

【规范解答】（1）因为

，所以，

所以

，因为是奇函数，所以，即对任意的都有，

即对任意都成立，所以且，所以,,所以.

（2）由（1）可得，所以,令，则或；所以当时，，函数是减函数；

当时，，函数是增函数；当时，，函数是减函数；综上可知，函数在区间和上是减函数，在区间上是增函数.函数在区间[1，2]内有极值点，所以函数的最大值与最小值只能在三点处取得，因为，所以函数的最大值是，最小值是.

6.（2010·重庆高考理科·Ｔ１8）已知函数其中实数

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若在x=1处取得极值，试讨论的单调性。

【命题立意】本题考查曲线的切线方程的求法，考查用函数的导数求极值的方法，判断函数的单调性的方法，考查分类讨论的思想方法.

【思路点拨】（1）先由函数的导数求出切线的斜率，再由点斜式求切线方程；（2）由函数的极值求法求出的值，再根据导数的正负讨论函数的单调性.

【规范解答】因为所以

；

（1）当时，，又因为，所以曲线在点处的切线方程是，即；

（2）因为，所以，又因为在处取得极值，所以，即，解得，所以，其定义域是，且，

令，则，，

所以当或时，；当，且时，；

所以由以上讨论可知，函数

在区间上是增函数；在区间，上是减函数.

【方法技巧】本小题采用先总后分的解答格式，即先求出导函数，再分别求解两问.

7.（2010·全国高考卷Ⅱ文科·Ｔ21）

已知函数f（x）=x-3ax+3x+1。

（Ⅰ）设a=2，求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围。

【命题立意】本题考查了导数的单调性、极值等知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想。

【思路点拨】代入a=2，由f（x）求导，由

第二问可利用数形结合方法转化为注意根据单调性对a分类讨论。

【规范解答】（Ⅰ）当时，

当x

当x

当x

综上，f（x）的单调增区间是，f（x）的单调减区间是

（Ⅱ）

当

当由题意知，

.

3

5

4

5,3

1

2,3

1

2

2

2

h(0)=0，即

综上，a的取值范围是[0,.

9.（2010·湖北高考文科·Ｔ21）设函数，其中＞0，曲线在点处的切线方程为=1

（Ⅰ）确定b、c的值

（Ⅱ）设曲线在点（）及（）处的切线都过点（0,2）证明：当时，

（Ⅲ）若过点（0,2）可作曲线的三条不同切线，求的取值范围。

【命题立意】本题主要考查导数的几何意义、函数的单调性、极值、反证法等，同时考查考生综合应用数学知识进行推理论证的能力．

【思路点拨】（Ⅰ）利用导数的几何意义和切点的双重性即可求出，的值。

（Ⅱ）用反证法进行论证。

（Ⅲ）利用切点的双重性将过点（0,2）可作曲线的三条不同切线转化为方程有三个不同的实根，然后利用函数的单调性、极值加以解决。

【规范解答】（Ⅰ）由题意得：，，由切点既在曲线上又在切线=1上知，故。

（Ⅱ）由，则曲线在处的切线方程为:,由点（0,2）在切线上，故

化简得:。下面用反证法证明结论。

假设，因曲线在点（）及（）处的切线都过点（0,2），

则，由（3）得，由（1）—（2）得,由（4）得，从而，所以=0，即。与题设矛盾，所以假设错误，从而。

（Ⅲ）由（Ⅱ）知过点（0,2）可作曲线的三条不同切线，等价于方程有三个不同的实根。设，则。由＞0知的值变化时，的变化情况如下表：

0

+

0

—

0

+

增

极大值1

减

极小值

增

由得单调性知：要使有三个不同的实根，当且仅当<0

即。所以的取值范围是。

【方法技巧】1、可导函数求“在”某点的切线时，切线的斜率就是函数在该点处导数的值；求“过”某点的切线时，该点不一定是切点，此时可设切点为，利用函数在点处导数的值及已知点可得到过已知点切点为的切线方程，由切点既在切线上又在曲线上（简称：切点的双重性）则可求出点坐标，从而求出“过”某点的切线。

2、过点可作曲线的几条不同切线（设切点为）等价于方程有几个不同的实根。

3、已知方程有几个不同的实根求参数的范围问题可转化为曲线与轴有几个不同的交点，然后利用函数的单调性和极值进行解答。

10.（2010·湖北高考理科·Ｔ21）已知函数f()=

(＞0)的图象在点（1,f(1)）处的切线方程为.

(Ⅰ)用表示出b,c;

(Ⅱ)若f()＞在[1,∞]上恒成立，求的取值范围；

(Ⅲ)证明：1+++…+＞㏑(n+1)+)(n≥1).

【命题立意】本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力和分类讨论的思想。．

【思路点拨】(Ⅰ)利用导数的几何意义和切点的双重性找出，，的关系。

(Ⅱ)

f()＞在[1,∞]上恒成立在[1,∞]上恒成立

(Ⅲ)利用(Ⅱ)的结论得时，令，采用累加的办法即可证（或利用数学归纳法加以证明）。

【规范解答】(Ⅰ)，由题意有:

解得：。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知：

f()=，令=

，则，

，（ⅰ）当时，。若，则，为减函数，所以，即，从而在上不恒成立。（ⅱ）当时，，若

，则，是增函数，所以，即，故当时，。

综上所述，所求的取值范围为。

(Ⅲ)方法一：由(Ⅱ)知：当时，令，有，且当时，，令，则有，即：

，。将上述个不等式相加得，整理得：

方法二：用数学归纳法证明如下：

（1）

当时，左边，右边，不等式成立。

（2）

假设时，不等式成立，就是：

，那么当时

=由(Ⅱ)知：当时，令，有，令，得≥

=，

，即当时，不等式成立。

根据（1）和（2）可知不等式对任何都成立。

【方法技巧】1、可导函数求“在”某点的切线时，切线的斜率就是函数在该点处导数的值；求“过”某点的切线时，该点不一定是切点，此时可设切点为，利用函数在点处导数的值及已知点可得到过已知点切点为的切线方程，由切点既在切线上又在曲线上（简称：切点的双重性）则可求出点坐标，从而求出求“过”某点的切线。

2、不等式在某区间恒成立或有解问题，一般都可通过构造函数转化为求相应函数的最值问题。

3、证明较复杂的与正整数有关的不等式问题，通常也可通过构造函数，利用函数的单调性和极值（最值），转化为求相应函数的最值大于（小于）零的问题。

11.（2010·四川高考文科·Ｔ22）设（且），是的反函数.

（I）求；

（II）当时，恒有成立，求的取值范围；

（III）当时，试比较

与的大小，并说明理由.

【命题立意】本题考查函数、反函数、不等式、导数及其应用等基础知识，考查化归、分类整合、构造函数等数学思想，以及推理论证，分析与解决问题的能力.

【思路点拨】（I）先求原函数的值域，即反函数的定义域，再反解.

（II）根据对数函数的性质，首先去掉对数的底数，因与的大小不定，故需要分，

进行讨论.

时，可得，恒成立；时，

可得，恒成立.

若令，便可利用导数求函数在闭区间上的最值.求出的取值范围。

（III）比较

与的大小，首先建立和的关系，但很难建立关系，故需要转换，考虑到，即，故可以设，则便可根据题目的目标和二项式定理进行放缩了.

【规范解答】（I）由题意，得，，或，

故，

（II），

①当时，

又∵，∴，

令，

，

列表如下

↗

极大值

↘

由表可知，∴.

②当，，

又∵，∴，

由①知的最大值为，

∴.

综上，当时，；当时，.

（III）设，则，

当时，.

当时，设，

则，

∴，

∴，

从而。

，

综上.

12.(2010·四川高考理科·Ｔ22）设（且），是的反函数.

（Ⅰ）设关于的方程在区间上有实数解，求的取值范围；

（Ⅱ）当（为自然对数的底数）时，证明：；

（Ⅲ）当时，试比较与的大小，并说明理由.

【命题立意】本题主要考查函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识，考查转化和化归思想、函数与方程思想解决不等式问题，分类整合等数学思想方法、以及推理论证、分析与解决问题的能力.

【思路点拨】（I）首先由反函数概念求出的解析式，然后化简整理方程可得

在区间上有实数解，即直线和曲线在区间上有公共点，

转为为求一元三次函数在上的最值问题，三次函数常用导数求解.

（II）先求出，不等式即为，

即，也即，

令，则不等式可化为，

若令，转化为函数恒成立，

即函数.最后转化为利用导数研究函数单调性，求函数的最值.

（Ⅲ）比较与的大小，即确定不等式是否成立，这样就要把用表达，也就是要建立起和的关系，但在下，没有办法建立这个关系，考虑到即，故可以设，在这个变换下

，就可以根据题目的目标和二项式定理进行放缩了.

【规范解答】（I）由题意，得，，或，

故，由得，

，则

列表如下

↗

↘

由表可知，，

∴的取值范围为.

（II）

，即证成立,令，

则，∴在上是增函数.

又∵，∴.

即，∴.

（III）设，则，.

当时，.

当时，设

则，

∴，

∴.

∴.

综上，总有.

.