浙江专用版高考数学复习第九章平面解析几何9.7抛物线教师用书

浙江专用2018版高考数学复习第九章平面解析几何9.7抛物线教师用书本文简介：（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.7抛物线教师用书1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>

浙江专用2018版高考数学复习第九章平面解析几何9.7抛物线教师用书本文内容：

（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习

第九章

平面解析几何

9.7

抛物线教师用书

1．抛物线的概念

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

2．抛物线的标准方程与几何性质

标准方程

y2＝2px(p>0)

y2＝－2px(p>0)

x2＝2py(p>0)

x2＝－2py

(p>0)

p的几何意义：焦点F到准线l的距离

图形

顶点

O(0,0)

对称轴

y＝0

x＝0

焦点

F

F

F

F

离心率

e＝1

准线方程

x＝－

x＝

y＝－

y＝

范围

x≥0，y∈R

x≤0，y∈R

y≥0，x∈R

y≤0，x∈R

开口方向

向右

向左

向上

向下

【知识拓展】

1．抛物线y2＝2px

(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径．

2．y2＝ax的焦点坐标为，准线方程为x＝－.

3．设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，

若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.

(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)．

(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．

(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(

×

)

(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是(，0)，准线方程是x＝－.(

×

)

(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(

×

)

(4)AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F(，0)的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.(

√

)

1．(2016·四川)抛物线y2＝4x的焦点坐标是(

)

A．(0,2)

B．(0,1)

C．(2,0)

D．(1,0)

答案

D

解析

∵对于抛物线y2＝ax，其焦点坐标为，

∴对于y2＝4x，焦点坐标为(1,0)．

2．(2016·金华一诊)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(

)

A．9

B．8

C．7

D．6

答案

B

解析

抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.

根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.

3．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(

)

A.

B．[－2,2]

C．[－1,1]

D．[－4,4]

答案

C

解析

Q(－2,0)，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，

由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝***(1－k2)≥0，

解得－1≤k≤1.

4．(2016·合肥模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为________．

答案

2

解析

抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－，

圆x2＋y2－6x－7＝0，即(x－3)2＋y2＝16，

则圆心为(3,0)，半径为4.

又因为抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，

所以3＋＝4，解得p＝2.

题型一

抛物线的定义及应用

例1

(1)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(

)

A.

B．1

C.

D.

(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．

答案

(1)C

(2)4

解析

(1)∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3，

∴xA＋xB＝，

∴线段AB的中点到y轴的距离为＝.

(2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，

交抛物线于点P1，

则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.

即|PB|＋|PF|的最小值为4.

引申探究

1．若将本例(2)中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．

解

由题意可知点(3,4)在抛物线的外部．

∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，

∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝

＝＝2，

即|PB|＋|PF|的最小值为2.

2．若将本例(2)中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．

解

由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．

点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，

所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.

易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为＝3，

所以d1＋d2的最小值为3－1.

思维升华

与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．

设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．

答案

解析

如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，

由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．

于是，问题转化为在抛物线上求一点P，

使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，

显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，

此时最小值为＝.

题型二

抛物线的标准方程和几何性质

命题点1

求抛物线的标准方程

例2

已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(

)

A．x2＝y

B．x2＝y

C．x2＝8y

D．x2＝16y

答案

D

解析

∵－＝1的离心率为2，

∴＝2，即＝＝4，∴＝3，＝.

x2＝2py(p>0)的焦点坐标为，－＝1的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.由题意得＝2，∴p＝8.故C2的方程为x2＝16y.

命题点2

抛物线的几何性质

例3

已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：

(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；

(2)＋为定值；

(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．

证明

(1)由已知得抛物线焦点坐标为(，0)．

由题意可设直线方程为x＝my＋，代入y2＝2px，

得y2＝2p，即y2－2pmy－p2＝0.(*)

则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2＝－p2.

因为y＝2px1，y＝2px2，所以yy＝4p2x1x2，

所以x1x2＝＝＝.

(2)＋＝＋

＝.

因为x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，

得＋＝＝(定值)．

(3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|＝(|AC|＋|BD|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|.

所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．

思维升华

(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．

(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．

(1)(2016·全国乙卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(

)

A．2

B．4

C．6

D．8

(2)(2016·昆明三中、玉溪一中统考)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，已知点A、B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为(

)

A.

B．1

C.

D．2

答案

(1)B

(2)A

解析

(1)不妨设抛物线C：y2＝2px(p>0)，则圆的方程可设为x2＋y2＝r2(r>0)，如图，

又可设A(x0,2)，，

点A(x0,2)在抛物线y2＝2px上，∴8＝2px0，①

点A(x0,2)在圆x2＋y2＝r2上，∴x＋8＝r2，②

点D在圆x2＋y2＝r2上，

∴5＋2＝r2，③

联立①②③，解得p＝4，即C的焦点到准线的距离为p＝4，故选B.

(2)设|AF|＝a，|BF|＝b，分别过A、B作准线的垂线，垂足分别为Q、P，

由抛物线的定义知，|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|，

在梯形ABPQ中，2|MN|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b.

|AB|2＝a2＋b2－2abcos

120°＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab.

又ab≤()2，

所以(a＋b)2－ab≥(a＋b)2－(a＋b)2＝(a＋b)2，

得到|AB|≥(a＋b)，

所以≤＝，

即的最大值为.

题型三

直线与抛物线的综合问题

命题点1

直线与抛物线的交点问题

例4

已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点．若·＝0，则k＝________.

答案

2

解析

抛物线C的焦点为F(2,0)，则直线方程为y＝k(x－2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．

则x1＋x2＝4＋，x1x2＝4.

所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝，

y1y2＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－16.

因为·＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋y1y2－2(y1＋y2)＋8＝0，

将上面各个量代入，化简得k2－4k＋4＝0，所以k＝2.

命题点2

与抛物线弦的中点有关的问题

例5

(2016·全国丙卷)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．

(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；

(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．

(1)证明

由题意知，F，设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，

且A，B，P，Q，

R.

记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.

由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.

记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1＝＝＝＝－＝－b＝＝k2.

所以AR∥FQ.

(2)解

设过AB的直线为l，设l与x轴的交点为D(x1,0)，

则S△ABF＝|b－a||FD|＝|b－a|，

S△PQF＝.

由题意可得|b－a|＝，所以x1＝1，x1＝0(舍去)．

设满足条件的AB的中点为E(x，y)．

当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得＝(x≠1)．而＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．

当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1,0)，

所以，所求轨迹方程为y2＝x－1(x≠1)．

思维升华

(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．

(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．

(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．

提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．

(2016·天津模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过点M(4,0)．

(1)若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率；

(2)设A，B为抛物线上两点，且AB不垂直于x轴，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值．

(1)解

由已知，得x＝4不合题意，

设直线l的方程为y＝k(x－4)，

由已知，得抛物线C的焦点坐标为(1,0)，

因为点

F到直线l的距离为，

所以＝，解得k＝±，

所以直线l的斜率为±.

(2)证明

设线段AB中点的坐标为N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

因为AB不垂直于x轴，

则直线MN的斜率为，

直线AB的斜率为，

直线AB的方程为y－y0＝(x－x0)，

联立方程

消去x得(1－)y2－y0y＋y＋x0(x0－4)＝0，

所以y1＋y2＝，因为N是AB中点，所以＝y0，

即＝y0，所以x0＝2，

即线段AB中点的横坐标为定值2.

7．直线与圆锥曲线问题的求解策略

典例

(14分)已知抛物线C：y＝mx2(m>0)，焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.

(1)求抛物线C的焦点坐标；

(2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值；

(3)是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

思维点拨

(3)中证明·＝0.

规范解答

解

(1)∵抛物线C：x2＝y，∴它的焦点F(0，)．[3分]

(2)∵|RF|＝yR＋，∴2＋＝3，得m＝.[5分]

(3)存在，联立方程

消去y得mx2－2x－2＝0，

依题意，有Δ＝(－2)2－4×m×(－2)>0?m>－.[7分]

设A(x1，mx)，B(x2，mx)，则(*)

∵P是线段AB的中点，∴P(，)，

即P(，yP)，∴Q(，)．[9分]

得＝(x1－，mx－)，＝(x2－，mx－)，

若存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则·＝0，

即(x1－)·(x2－)＋(mx－)(mx－)＝0，[12分]

结合(*)化简得－－＋4＝0，

即2m2－3m－2＝0，∴m＝2或m＝－，

而2∈(－，＋∞)，－?(－，＋∞)．

∴存在实数m＝2，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形．[14分]

解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤

第一步：联立方程，得关于x或y的一元二次方程；

第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；

第三步：根据题目要求列出关于x1x2，x1＋x2(或y1y2，y1＋y2)的关系式，求得结果；

第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况.

1．(2016·太原模拟)若抛物线y＝ax2的焦点坐标是(0,1)，则a等于(

)

A．1

B.

C．2

D.

答案

D

解析

因为抛物线的标准方程为x2＝y，

所以其焦点坐标为(0，)，则有＝1，a＝，

故选D.

2．(2016·浙江统一检测)已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交于A、B两点，如果·＝－12，那么抛物线C的方程为(

)

A．x2＝8y

B．x2＝4y

C．y2＝8x

D．y2＝4x

答案

C

解析

由题意，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，直线方程为x＝my＋，

联立消去x得y2－2pmy－p2＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2，

得·＝x1x2＋y1y2＝(my1＋)·(my2＋)＋y1y2＝m2y1y2＋(y1＋y2)＋＋y1y2＝－p2＝－12?p＝4，

即抛物线C的方程为y2＝8x.

3．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(

)

A．x＝1

B．x＝－1

C．x＝2

D．x＝－2

答案

B

解析

∵y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(，0)，

∴过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，

即x＝y＋，将其代入y2＝2px，得y2＝2py＋p2，

即y2－2py－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则y1＋y2＝2p，∴＝p＝2，

∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.

4．(2016·绵阳模拟)已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和l2的距离之和的最小值为(

)

A.

B.

C．3

D．2

答案

D

解析

直线l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，

抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，

则点P到直线l2：x＝－1的距离等于|PF|，

过点F作直线l1：4x－3y＋6＝0的垂线，

和抛物线的交点就是点P，

所以点P到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离和直线l2：x＝－1的距离之和的最小值就是点F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，

所以最小值为＝2，故选D.

5．(2016·九江一模)过抛物线y2＝8x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于点C，若|AF|＝6，＝λ，则λ的值为(

)

A.

B.

C.

D．3

答案

D

解析

设A(x1，y1)(y1>0)，B(x2，y2)，C(－2，y3)，

则x1＋2＝6，解得x1＝4，则y1＝4，

则直线AB的方程为y＝2(x－2)，令x＝－2，

得C(－2，－8)，联立

解得或

则B(1，－2)，∴|BF|＝1＋2＝3，|BC|＝9，

∴λ＝3，故选D.6.(2016·济南模拟)已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k的值为(

)

A.

B.

C.

D.

答案

C

解析

抛物线C的准线为l：x＝－2，

直线y＝k(x＋2)恒过定点P(－2，0)，

如图，过A，B分别作AM⊥l于M，

BN⊥l于N，由|FA|＝2|FB|，得|AM|＝2|BN|，

从而点B为AP的中点，连接OB，

则|OB|＝|AF|，所以|OB|＝|BF|，

从而点B的横坐标为1，点B的坐标为(1,2)，

所以k＝＝，故选C.

7．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝________.

答案

12

解析

焦点F的坐标为，

方法一

直线AB的斜率为，

所以直线AB的方程为y＝，

即y＝x－，代入y2＝3x，得x2－x＋＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，

所以|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12.

方法二

由抛物线焦点弦的性质可得

|AB|＝＝＝12.

8．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若＝，则p＝________.

答案

2

解析

如图，

由AB的斜率为，

知∠α＝60°，又＝，

∴M为AB的中点．

过点B作BP垂直准线l于点P，

则∠ABP＝60°，∴∠BAP＝30°，

∴|BP|＝|AB|＝|BM|.

∴M为焦点，即＝1，∴p＝2.

9．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝________.

答案

6

解析

抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，

准线方程为x＝－2.

设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，

由题意，c＝2，＝，

可得a＝4，b2＝16－4＝12.

故椭圆方程为＋＝1.

把x＝－2代入椭圆方程，解得y＝±3.

从而|AB|＝6.10.设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是________________．

答案

(2,4)

解析

如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，

则

两式相减得，(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．

当l的斜率k不存在时，符合条件的直线l必有两条．

当k存在时，x1≠x2，

则有·＝2，

又y1＋y2＝2y0，所以y0k＝2.

由CM⊥AB，得k·＝－1，

即y0k＝5－x0，因此2＝5－x0，x0＝3，

即M必在直线x＝3上．将x＝3代入y2＝4x，

得y2＝12，则有－20)得x2－2pkx＋6p＝0，

Δ＝4p2k2－4×6p＝0，即pk2＝6.

∵点F(0，)，点F到切线l的距离d＝＝2，

化简得(p＋6)2＝16(k2＋1)，

∴(p＋6)2＝16(＋1)＝，

∵p>0，∴p＋6>0，

得p2＋6p－16＝(p＋8)(p－2)＝0，∴p＝2，

因此抛物线E的方程为x2＝4y.

(2)已知直线AB不会与坐标轴平行，

设直线AB：y－y1＝k(x－x1)(k>0)，B(xB，yB)，

联立抛物线方程得x2－2pkx＋2p(kx1－y1)＝0，

则x1＋xB＝2pk，

则xB＝2pk－x1，同理可得xC＝－－x1.

∵|AB|＝|AC|?|xB－x1|＝|xC－x1|

?k(xB－x1)＝x1－xC?x1＝，

∴|AB|＝|xB－x1|＝(2pk－2x1)

＝2p.

∵≥2，＝

≥

＝(当且仅当k＝1时等号成立)，

故|AB|≥2p，△ABC面积的最小值为8p2.13.如图，由部分抛物线：y2＝mx＋1(m>0，x≥0)和半圆x2＋y2＝r2(x≤0)所组成的曲线称为“黄金抛物线C”，若“黄金抛物线C”经过点(3,2)和(－，)．

(1)求“黄金抛物线C”的方程；

(2)设P(0,1)和Q(0，－1)，过点P作直线l与“黄金抛物线C”相交于A，P，B三点，问是否存在这样的直线l，使得QP平分∠AQB？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

解

(1)∵“黄金抛物线C”过点(3,2)和(－，)，

∴r2＝(－)2＋()2＝1,4＝3m＋1，∴m＝1.

∴“黄金抛物线C”的方程为y2＝x＋1(x≥0)和x2＋y2＝1(x≤0)．

(2)假设存在这样的直线l，使得QP平分∠AQB，显然直线l的斜率存在且不为0，

设直线l：y＝kx＋1，联立消去y，

得k2x2＋(2k－1)x＝0，∴xB＝，yB＝，

即B(，)，

∴kBQ＝，

联立消去y，得(k2＋1)x2＋2kx＝0，

∴xA＝－，yA＝，即A(－，)，

∴kAQ＝－，

∵QP平分∠AQB，∴kAQ＋kBQ＝0，

∴－＝0，解得k＝－1±，

由图形可得k＝－1－应舍去，∴k＝－1，

∴存在直线l：y＝(－1)x＋1，使得QP平分∠AQB.