等差数列所有公式大全

等差数列公式大全

一、 等差数列 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

等差数列的通项公式为:an=a1n+(n-1)d (1) 前n项和公式为:Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 (2) 以上n均属于正整数。

从(1)式可以看出，an是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由(2)式知，Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。

在等差数列中，等差中项:一般设为Ar，Am+An=2Ar,所以Ar为Am，An的等差中项，且为数列的平均数。

且任意两项am，an的关系为:an=am+(n-m)d 它可以看作等差数列广义的通项公式。

从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出:a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n} 若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aq，Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差数列，等等。

和=(首项+末项)×项数÷2 项数=(末项-首项)÷公差+1 首项=2和÷项数-末项 末项=2和÷项数-首项 末项=首项+(项数-1)×公差 等差数列的应用: 日常生活中，人们常常用到等差数列如:在给各种产品的尺寸划分级别 时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。

若为等差数列，且有an=m,am=n.则a(m+n)=0。

3.等差数列的基本性质 ⑴公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d. ⑵公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd. ⑶若、为等差数列，则{ a ±b }与{ka +b}(k、b为非零常数)也是等差数列. ⑷对任何m、n ，在等差数列中有:a = a + (n-m)d，特别地，当m = 1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性. ⑸、一般地，如果l，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且l + k + p + … = m + n + r + … (两边的自然数个数相等)，那么当为等差数列时，有:a + a + a + … = a + a + a + … . ⑹公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd( k为取出项数之差). ⑺如果是等差数列，公差为d，那么，a ，a ，…，a 、a 也是等差数列，其公差为-d;在等差数列中，a -a = a -a = md .(其中m、k、 ) ⑻在等差数列中，从第一项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项. ⑼当公差d＞0时，等差数列中的数随项数的增大而增大;当d＜0时，等差数列中的数随项数的减少而减小;d=0时，等差数列中的数等于一个常数. ⑽设a 1，a 2，a 3为等差数列中的三项，且a1 与a2 ，a 2与a 3的项距差之比 = d( d≠-1)，则2a2 = a1+a3.