切割线定理和例题解题技巧
切割线定理:过圆外一点做圆的切线和一条割线。割线与圆交于两点。这两点与圆外一点组成的线段的积等于切线长的平方。解题技巧就是求线段的长度就可以用这个定理,也就是构造两个相似三角形,都是它的解题方法。
切割线定理和例题解题技巧
(一) 相交弦定理
圆的两条弦相交,被交点分成的两条线段长的积相等。
如图 1(1), 在⊙ O 中,AB、CD 相交于点 P,则 PA·PB=PC·PD。
(二) 割线定理
从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
如图 1(3), 有 PA·PB=PC·PD。
(三) 切割线定理
从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
如图1(4),有PA=PC·PD
当点 P 从圆内运动到圆上、圆外时(从图 1(1)到图 1(3)), 总有 PA·PB=PC·PD,图 1(2)中,点 B、D 与点 P 重合,PB=PD=0,PA·PB=PC·PD 同样成立。
当割线 PBA 绕着点 P 旋转到切线 PA 的位置时,点 B 与 A 重合,结论不变,仍有 PA·PB
=PC·PD,此时PA=PB,所以PA=PC·PD
当割线 PDC 也变为切线 PC 时,总有 PA·PB=PC·PD,因为 PC=PD,PA=PB,所以PA=PC,即PA=PC,此为切线长定理。
当图 1(1)中的两条相交弦的位置调整为:其中一条为直径,另一条弦与直径垂直
根据相交弦定理,同样有 PA·PB=PC·PD 又根据垂径定理, 2=PC·PD。当图 1(1)中的两条相交弦的位置调整为:其中一条为直径,另一条弦与直径垂直,根据相交弦定理,同样有 PA·PB=PC·PD 又根据垂径定理,有PA=PB,所以PA =PC·PD。
1.圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。
2.相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。
3.割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段的长的积相等。
4.割线长定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
5.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。