全国高考数学第6章不等式推理与证明第3节基本不等式教师用书文新人教A版
全国高考数学第6章不等式推理与证明第3节基本不等式教师用书文新人教A版本文简介:第三节基本不等式————————————————————————————————[考纲传真]1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.1.基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.(2)等号成立的条件:当且仅当a=b.2.几个重要的不等式(1)a2+b
全国高考数学第6章不等式推理与证明第3节基本不等式教师用书文新人教A版本文内容:
第三节
基本不等式
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[考纲传真]
1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
1.基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.
(2)等号成立的条件:当且仅当a=b.
2.几个重要的不等式
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R);
(2)+≥2(a,b同号且不为零);
(3)ab≤2(a,b∈R);
(4)2≤(a,b∈R).
3.算术平均数与几何平均数
设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
4.利用基本不等式求最值问题
已知x>0,y>0,则
(1)如果xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2(简记:积定和最小).
(2)如果x+y是定值q,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是(简记:和定积最大).
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数y=x+的最小值是2.(
)
(2)函数f(x)=cos
x+,x∈的最小值等于4.(
)
(3)x>0,y>0是+≥2的充要条件.(
)
(4)若a>0,则a3+的最小值为2.(
)
[答案]
(1)×
(2)×
(3)×
(4)×
2.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是(
)
A.a2+b2>2ab
B.a+b≥2
C.+>
D.+≥2
D
[∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴A错误;对于B,C,当a0,∴+≥2=2.]
3.(2016·安徽合肥二模)若a,b都是正数,则的最小值为(
)
A.7
B.8
C.9D.10
C
[∵a,b都是正数,∴=5++≥5+2=9,当且仅当b=2a>0时取等号,故选C.]
4.若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a等于(
)
【导学号:31222209】
A.1+B.1+
C.3D.4
C
[当x>2时,x-2>0,f(x)=(x-2)++2≥2+2=4,当且仅当x-2=(x>2),即x=3时取等号,即当f(x)取得最小值时,x=3,即a=3,选C.]
5.(教材改编)若把总长为20
m的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是__________m2.
25
[设矩形的一边为x
m,矩形场地的面积为y,
则另一边为×(20-2x)=(10-x)m,
则y=x(10-x)≤2=25,
当且仅当x=10-x,即x=5时,ymax=25.]
利用基本不等式求最值
(1)(2015·湖南高考)若实数a,b满足+=,则ab的最小值为(
)
A.
B.2
C.2D.4
(2)(2017·郑州二次质量预测)已知正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是__________.
(1)C
(2)3
[(1)由+=知a>0,b>0,所以=+≥2,即ab≥2,
当且仅当即a=,b=2时取“=”,所以ab的最小值为2.
(2)由x2+2xy-3=0得y==-x,则2x+y=2x+-x=+≥2=3,当且仅当x=1时,等号成立,所以2x+y的最小值为3.]
[规律方法]
1.利用基本不等式求函数最值时,注意“一正、二定、三相等,和定积最大,积定和最小”.
2.在求最值过程中若不能直接使用基本不等式,可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形,使之能够使用基本不等式.
[变式训练1]
(1)(2016·湖北七市4月联考)已知a>0,b>0,且2a+b=1,若不等式+≥m恒成立,则m的最大值等于(
)
A.10B.9
C.8D.7
(2)(2016·湖南雅礼中学一模)已知实数m,n满足m·n>0,m+n=-1,则+的最大值为__________.
(1)B
(2)-4
[(1)∵+=+=4+++1=5+2≥5+2×2=9,当且仅当a=b=时取等号.又+≥m,∴m≤9,即m的最大值等于9,故选B.
(2)∵m·n>0,m+n=-1,∴m0,b>0,a+b=1,求证:
(1)++≥8;
(2)≥9.
[证明]
(1)++=2,
∵a+b=1,a>0,b>0,
∴+=+=2++≥2+2=4,3分
∴++≥8(当且仅当a=b=时等号成立).5分
(2)法一:∵a>0,b>0,a+b=1,
∴1+=1+=2+,同理1+=2+,
∴=
=5+2≥5+4=9,10分
∴≥9(当且仅当a=b=时等号成立).12分
法二:=1+++,
由(1)知,++≥8,10分
故=1+++≥9.12分
[规律方法]
1.“1”的代换是解决问题的关键,代换变形后能使用基本不等式是代换的前提,不能盲目变形.
2.利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,达到放缩的效果,必要时,也需要运用“拆、拼、凑”的技巧,同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到.
[变式训练2]
设a,b均为正实数,求证:++ab≥2.
【导学号:31222210】
[证明]
由于a,b均为正实数,
所以+≥2=,3分
当且仅当=,即a=b时等号成立,
又因为+ab≥2=2,
当且仅当=ab时等号成立,
所以++ab≥+ab≥2,8分
当且仅当即a=b=时取等号.12分
基本不等式的实际应用
运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米,按交通法规限制50≤x≤100(单位:千米/时).假设汽油的价格是每升2元,而汽车每小时耗
油升,司机的工资是每小时14元.
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式;
(2)当x为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值.
[解]
(1)设所用时间为t=(h),
y=×2×+14×,x∈[50,100].2分
所以这次行车总费用y关于x的表达式是
y=+x,x∈.
(或y=+x,x∈).5分
(2)y=+x≥26
,
当且仅当=x,
即x=18,等号成立.8分
故当x=18千米/时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为26元.12分
[规律方法]
1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.
2.根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用基本不等式求得函数的最值.
3.在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.
[变式训练3]
某化工企业2016年年底投入100万元,购入一套污水处理设备.该设备每年的运转费用是0.5万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加2万元.设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位:万元).
(1)用x表示y;
(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时,企业需重新更换新的污水处理设备.则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备.
[解]
(1)由题意得,
y=,
即y=x++1.5(x∈N*).5分
(2)由基本不等式得:
y=x++1.5≥2+1.5=21.5,8分
当且仅当x=,即x=10时取等号.
故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备.12分
[思想与方法]
1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,因此可以用在一些不等式的证明中,还可以用于求代数式的最值或取值范围.如果条件等式中,同时含有两个变量的和与积的形式,就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化,然后通过解不等式进行求解.
2.基本不等式的两个变形:
(1)≥2≥ab(a,b∈R,当且仅当a=b时取等号).
(2)≥≥≥(a>0,b>0,当且仅当a=b时取等号).
[易错与防范]
1.使用基本不等式求最值,“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.
2.“当且仅当a=b时等号成立”的含义是“a=b”是等号成立的充要条件,这一点至关重要,忽视它往往会导致解题错误.
3.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.
课时分层训练(三十四)
基本不等式
A组
基础达标
(建议用时:30分钟)
一、选择题
1.已知x>-1,则函数y=x+的最小值为(
)
【导学号:31222211】
A.-1
B.0
C.1D.2
C
[由于x>-1,则x+1>0,所以y=x+=(x+1)+-1≥2-1=1,当且仅当x+1=,由于x>-1,即当x=0时,上式取等号.]
2.设非零实数a,b,则“a2+b2≥2ab”是“+≥2”成立的(
)
【导学号:31222212】
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
B
[因为a,b∈R时,都有a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,即a2+b2≥2ab,而+≥2?ab>0,所以“a2+b2≥2ab”是“+≥2”的必要不充分条件.]
3.(2016·吉林东北师大附中等校联考)函数f(x)=ax-1-2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx-ny-1=0上,其中m>0,n>0,则+的最小值为(
)
【导学号:31222213】
A.4B.5
C.6D.3+2
D
[由题意知A(1,-1),因为点A在直线mx-ny-1=0上,所以m+n=1,所以+=(m+n)=3++,
因为m>0,n>0,
所以+=3++≥3+2
=3+2.
当且仅当=时,取等号,故选D.]
4.(2016·安徽安庆二模)已知a>0,b>0,a+b=+,则+的最小值为(
)
A.4B.2
C.8D.16
B
[由a>0,b>0,a+b=+=,
得ab=1,
则+≥2=2.当且仅当=,即a=,b=时等号成立.故选B.]
5.(2016·郑州外国语学校月考)若a>b>1,P=,Q=(lg
a+lg
b),R=lg,则(
)
A.Rb>1,∴lg
a>lg
b>0,
(lg
a+lg
b)>,
即Q>P.∵>,∴lg>lg=(lg
a+lg
b)=Q,即R>Q,∴P0),若f(x)在(1,+∞)上的最小值为4,则实数p的值为__________.
[由题意得x-1>0,f(x)=x-1++1≥2+1,当且仅当x=+1时取等号,所以2+1=4,
解得p=.]
8.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=__________吨.
20
[每次都购买x吨,则需要购买次.
∵运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,
∴一年的总运费与总存储费用之和为4×+4x万元.
∵4×+4x≥160,当且仅当4x=时取等号,
∴x=20吨时,一年的总运费与总存储费用之和最小.]
三、解答题
9.(1)当x0,
∴+≥2=4,4分
当且仅当=,即x=-时取等号.
于是y≤-4+=-,故函数的最大值为-.6分
(2)∵00,
∴y==·≤·=,8分
当且仅当x=2-x,即x=1时取等号,
∴当x=1时,函数y=的最大值为.12分
10.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求:
(1)xy的最小值;
(2)x+y的最小值.
[解]
(1)由2x+8y-xy=0,得+=1,2分
又x>0,y>0,
则1=+≥2
=,得xy≥***,
当且仅当x=16,y=4时,等号成立.
所以xy的最小值为***.5分
(2)由2x+8y-xy=0,得+=1,
则x+y=·(x+y)=10++
≥10+2
=18.8分
当且仅当x=12且y=6时等号成立,
∴x+y的最小值为18.12分
B组
能力提升
(建议用时:15分钟)
1.要制作一个容积为4
m3
,高为1
m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是(
)
【导学号:31222214】
A.80元B.120元
C.160元D.240元
C
[由题意知,体积V=4
m3,高h=1
m,
所以底面积S=4
m2,设底面矩形的一条边长是x
m,则另一条边长是
m.又设总造价是y元,则
y=20×4+10×≥80+20=160.
当且仅当2x=,即x=2时取得等号.]
2.(2015·山东高考)定义运算“?”:x?y=(x,y∈R,xy≠0).当x>0,y>0时,x?y+(2y)?x的最小值为________.
[因为xy=,所以(2y)x=.又x>0,y>0.故xy+(2y)x=+=≥=,当且仅当x=y时,等号成立.]
3.经市场调查,某旅游城市在过去的一个月内(以30天计),第t天(1≤t≤30,t∈N*)的旅游人数f(t)(万人)近似地满足f(t)=4+,而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)=120-|t-20|.
(1)求该城市的旅游日收益W(t)(万元)与时间t(1≤t≤30,t∈N*)的函数关系式;
(2)求该城市旅游日收益的最小值.
[解]
(1)W(t)=f(t)g(t)=(120-|t-20|)
=5分
(2)当t∈[1,20]时,401+4t+≥401+2=441(t=5时取最小值).7分
当t∈(20,30]时,因为W(t)=559+-4t递减,
所以t=30时,W(t)有最小值W(30)=443,10分
所以t∈[1,30]时,W(t)的最小值为441万元.12分