版高考数学第2章函数概念与基本初等函数3第3讲函数的奇偶性及周期性教案

2019版高考数学第2章函数概念与基本初等函数3第3讲函数的奇偶性及周期性教案本文简介：第3讲函数的奇偶性及周期性1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.判断函数奇偶性

2019版高考数学第2章函数概念与基本初等函数3第3讲函数的奇偶性及周期性教案本文内容：

第3讲

函数的奇偶性及周期性

1．函数的奇偶性

奇偶性

定义

图象特点

偶函数

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数

关于y轴对称

奇函数

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数

关于原点对称

2.判断函数奇偶性的步骤

(1)求函数的定义域．

(2)判断定义域是否关于原点对称，若不对称，则函数为非奇非偶函数，若对称，则进行下一步．

(3)判断f(－x)与f(x)的关系，若f(－x)＝f(x)，则函数f(x)为偶函数，若f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)为奇函数，若f(－x)≠±f(x)，则f(x)为非奇非偶函数．

(4)得出结论．

特别地，设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论：

f(x)

g(x)

f(x)＋g(x)

f(x)－g(x)

f(x)g(x)

f(g(x))

偶函数

偶函数

偶函数

偶函数

偶函数

偶函数

偶函数

奇函数

不能确定

不能确定

奇函数

偶函数

奇函数

偶函数

不能确定

不能确定

奇函数

偶函数

奇函数

奇函数

奇函数

奇函数

偶函数

奇函数

3.周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

4．函数周期性的意义．

函数周期性的创新主要以函数图象的对称性为条件．以函数值的求解为目的，解决此类问题的关键是把自变量的取值利用周期性和对称性转化到指定区间内，代入相应的函数解析式求值．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(

)

(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(

)

(3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数．(

)

(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(

)

答案：(1)×

(2)√

(3)√

(4)√

下列函数中为偶函数的是(

)

A．y＝x2sin

x

B．y＝x2cos

x

C．y＝|ln

x|D．y＝2－x

解析：选B.根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数，B选项为偶函数；C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数．

(教材习题改编)已知函数f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](a0在[－1，3]上的解集为(

)

A．(1，3)B．(－1，1)

C．(－1，0)∪(1，3)D．(－1，0)∪(0，1)

解析：选C.f(x)的图象如图．

当x∈(－1，0)时，由xf(x)>0得x∈(－1，0)；

当x∈(0，1)时，由xf(x)>0得x∈?.

当x∈(1，3)时，由xf(x)>0得x∈(1，3)．

故x∈(－1，0)∪(1，3)．

5．已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)在区间[0，2]上是递增的，则f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是(

)

A．f(0)0)的最大值为M，最小值为N，且M＋N＝4，则实数t的值为________．

解析：由题意，f(x)＝＝t＋，

设g(x)＝，可知g(x)是奇函数，又函数f(x)最大值为M，最小值为N，且M＋N＝4，

所以M－t＝－(N－t)，即2t＝M＋N＝4，所以t＝2.

答案：2

4．已知函数f(x)＝函数h(x)(x≠0)为偶函数，且当x>0时，h(x)＝f(x)．若h(t)>h(2)，则实数t的取值范围为________．

解析：因为当x>0时，h(x)＝f(x)，所以当x>0时，h(x)＝易知函数h(x)在(0，＋∞)上单调递减，又函数h(x)(x≠0)为偶函数，且h(t)>h(2)，所以h(|t|)>h(2)，所以0<|t|<2，

所以即解得－2

答案：(－2，0)∪(0，2)

5．已知函数f(x)＝是奇函数．

(1)求实数m的值；

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．

解：(1)设x＜0，则－x＞0，

所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.

又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，

于是x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.

(2)由(1)知f(x)在[－1，1]上是增函数，要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增．

结合f(x)的图象知

所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1，3]．

6．已知函数y＝f(x)在定义域[－1，1]上既是奇函数又是减函数．

(1)求证：对任意x1，x2∈[－1，1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0；

(2)若f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求实数a的取值范围．

解：(1)证明：若x1＋x2＝0，显然不等式成立．

若x1＋x2＜0，则－1≤x1＜－x2≤1，

因为f(x)在[－1，1]上是减函数且为奇函数，

所以f(x1)＞f(－x2)＝－f(x2)，所以f(x1)＋f(x2)＞0.

所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立．

若x1＋x2＞0，则1≥x1＞－x2≥－1，

同理可证f(x1)＋f(x2)＜0.

所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立．

综上得证，对任意x1，x2∈[－1，1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0恒成立．

(2)因为f(1－a)＋f(1－a2)＜0?f(1－a2)＜－f(1－a)＝f(a－1)，所以由f(x)在定义域[－1，1]上是减函数，得

即解得0≤a＜1.

故所求实数a的取值范围是[0，1)．