中考数学第二轮复习——几何计算题选讲

中考数学第二轮复习——几何计算题选讲本文简介：中考数学——几何计算题选讲几何计算题历年来是中考的热点问题。几何计算是以推理为基础的几何量的计算，主要有线段与弧的长度计算、角和弧的度数计算、三角函数值的计算、线段比值的计算以及面积、体积的计算，从图形上分类有：三角形、四边形、多边形以及圆的有关计算。解几何计算题的常用方法有：几何法、代数法、三角法

中考数学第二轮复习——几何计算题选讲本文内容：

中考数学——几何计算题选讲

几何计算题历年来是中考的热点问题。几何计算是以推理为基础的几何量的计算，主要有线段

与弧的长度计算、角和弧的度数计算、三角函数值的计算、线段比值的计算以及面积、体积的计算，从图形上分类有：三角形、四边形、多边形以及圆的有关计算。解几何计算题的常用方法有：几何法、代数法、三角法等。

一、三种常用解题方法举例

例1．

如图，在矩形ABCD中，以边AB为直径的半圆O恰与对边CD相切于T，与对角线AC交于P，PE⊥AB于E，AB=10，求PE的长.

解法一：（几何法）连结OT，则OT⊥CD，且OT=AB＝5

BC=OT=5,AC==

∵BC是⊙O切线，∴BC2

=CP·CA.

∴PC=，∴AP=CA-CP=.

∵PE∥BC

∴，PE=×5=4.

说明：几何法即根据几何推理，由几何关系式进行求解的方法，推理时特别要注意图形中的隐含条件.

解法二：（代数法）

∵PE∥BC，∴.

∴.

设：PE=x，则AE=2

x

，EB=10–2

x.

连结PB.

∵AB是直径，∴∠APB=900.

在Rt△APB中，PE⊥AB，∴△PBE∽△APE

.

∴.∴EP=2EB，即x=2（10–2x）.

解得x=4.

∴PE=4.

说明：代数法即为设未知数列方程求解，关键在于找出可供列方程的相等关系，例如：相似三角形中的线段比例式；勾股定理中的等式；相交弦定理、切割线定理中的线段等积式，以及其他的相等关系.

解法三：（三角法）

连结PB，则BP⊥AC.设∠PAB=α

在Rt△APB中，AP=10COSα，

在Rt△APE中，PE=APsinα,∴PE=10sinαCOSα.

在Rt△ABC中,BC=5,AC=.∴sinα=,COSα=.∴PE=10×=4.

说明：在几何计算中，必须注意以下几点：

（1）

注意“数形结合”，多角度，全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系.

（2）

注意推理和计算相结合，先推理后计算，或边推理边计算，力求解题过程规范化.

（3）

注意几何法、代数法、三角法的灵活运用和综合运用.

二.其他题型举例

例2.如图，ABCD是边长为2

a的正方形，AB为半圆O的直径，CE切⊙O于E，与BA的延长线交于F，求EF的长.

分析：本题考察切线的性质、切割线定理、相似三角形性质、以及正方形有关性质.本题可用代数法求解.

解：连结OE，∵CE切⊙O于E，

∴OE⊥CF

∴△EFO∽△BFC，∴，又∵OE=AB=BC，∴EF=FB

设EF=x，则FB=2x，FA=2x–2a

∵FE切⊙O于E

∴FE2=FA·FB，∴x2=（2x–2a）·2x

解得x=a，

∴EF=a.

例3．已知：如图，⊙O1

与⊙O2相交于点A、B，且点O1在⊙O2上，连心线O1O2交⊙O1于点C、D，交⊙O2于点E，过点C作CF⊥CE，交EA的延长线于点F，若DE=2，AE=

（1）

求证：EF是⊙O1的切线；

（2）

求线段CF的长；

（3）

求tan∠DAE的值.

分析：（1）连结O1A，O1E是⊙O2的直径，O1A⊥EF，从而知

EF是⊙O1的切线.

（2）由已知条件DE=2，AE=，且EA、EDC分别是⊙O1的切线和割线，运用切割线定理EA2=ED·EC，可求得EC=10.由CF⊥CE，可得CF是⊙O1的切线，从而FC=FA.在Rt△EFC中，设CF=

x，则FE=

x+.又CE=10，由勾股定理可得：（x+）2=

x2+102，解得

x=.即CF=.

（3）要求tan∠DAE的值，通常有两种方法：①构造含∠DAE的直角三角形；②把求tan∠DAE的值转化为求某一直角三角形一锐角的正切（等角转化）.在求正切值时，又有两种方法可供选择：①分别求出两线段（对边和邻边）的值；②整体求出两线段（对边和邻边）的比值.

解：（1）连结O1A，

∵O1E是⊙O2的直径，∴O1A⊥EF

∴EF是⊙O1的切线

（2）∵DE=2，AE=，且EA、EDC分别是⊙O1的切线和割线

∴EA2=ED·EC，∴EC=10

由CF⊥CE，可得CF是⊙O1的切线，从而FC=FA.在Rt△EFC中，设CF=

x，则FE=

x+.又CE=10，由勾股定理可得：（x+）2=

x2+102，解得

x=.即CF=.

（3）解法一：（构造含∠DAE的直角三角形）

作DG⊥AE于G，求AG和DG的值.分析已知条件，在Rt△A

O1E中，三边长都已知或可求（O1A=4，O1E=6），又DE=2，且DG∥A

O1（因为DG⊥AE），运用平行分线段成比例可求得DG=

从而tan∠DAE=.

解法二：（等角转化）

连结AC，由EA是⊙O1的切线知∠DAE=∠ACD.只需求tan∠ACD.易得∠CAD=900，所以只需求的值即可.观察和分析图形，可得△ADE∽△CAE，.从而tan∠ACD=，即tan∠DAE=.

说明：（1）从已知条件出发快速地找到基本图形，得到基本结论，在解综合题时更显出它的基础性和重要性.如本题（2）求CF的长时，要能很快地运用切割线定理，先求出CE的长.

（2）方程思想是几何计算中一种常用的、重要的方法，要熟练地掌握.

例4.如图，已知矩形ABCD，以A为圆心，AD为半径的圆交AC、AB于M、E，CE的延长线交⊙A于F，CM=2，AB=4.

（1）

求⊙A的半径；

（2）

求CF的长和△AFC的面积.

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=4，在Rt△ACD中，AC2=CD2+AD2，∴（2+AD）2=42+AD2，解得AD=3.

（2）

A作AG⊥EF于G.∵BG=3，BE=AB―AE=1，∴CE=

由CE·CF=CD2，得CF=.又∵∠B=∠AGE=900，∠BEC=∠GEA，∴△BCE∽△GAE.∴，即S△AFC=CF·AG=.

例5.如图，△ABC内接于⊙O，BC=4，S△ABC=，∠B为锐角，且关于x的方程x2–4xcosB+1=0有两个相等的实数根.D是劣弧AC上的任一点（点D不与点A、C重合），DE平分∠ADC，交⊙O于点E，交AC于点F.

（1）

求∠B的度数；

（2）

求CE的长.

分析：本题是一道综合了代数知识的几何计算题，考察了圆的有关性质，解题时应注意线段的转化.

解：（1）∵关于x的方程x2–4xcosB+1=0有两个相等的实数根，

∴Δ=（-4cosB）2-4=0.∴cosB=，或cosB=-（舍去）.

又∵∠B为锐角，∴∠B=600.

（2）

点A作AH⊥BC，垂足为H.

S△ABC=BC·AH=BC·AB·sin600=，解得AB=6

在Rt△ABH中，BH=AB·cos600=6×=3，AH=AB·sin600=6×，∴CH=BC-BH=4-3=1.

在Rt△ACH中，AC2+CH2=27+1=28.∴AC=（负值舍去）.∴AC=.连结AE，在圆内接四边形ABCD中，∠B+∠ADC=1800，∴∠ADC=1200.又∵DE平分∠ADC，∴∠EDC=600=∠EAC.

又∵∠AEC=∠B=600，∴∠AEC=∠EAC，∴CE=AC=.

例6.

已知：如图，⊙O的半径为r，CE切⊙O于点C，且与弦AB的延长线交于点E，CD⊥AB于D.如果CE=2BE，且AC、BC的长是关于x的方程x2–3（r–2）x+

r2–4=0的两个实数根.求（1）AC、BC的长；（2）CD的长.

分析：（1）图中显然存在切割线定理的基本图形，从而可得△ECB∽△EAC，AC=2BC.又∵AC、BC是方程的两根，由根与系数关系可列出关于AC、BC的方程组求解.（2）∵CD是Rt△CDB的一边，所以考虑构造直角三角形与之对应.若过C作直径CF，连结AF，则Rt△CDB∽Rt△CAF，据此可列式计算.

解：（1）∵CE切⊙O于C，∴∠ECB=∠A.又∵∠E是公共角，∴△ECB∽△EAC，，∴AC=2BC.由AC、BC的长是关于x的方程x2–3（r–2）x+

r2–4=0的两个实数根，∴AC+BC=3（r-2）；AC·BC=r2-4，解得r=6，∴BC=4，AC=8.

（2）

CO并延长交⊙O于F，连结AF，则∠CAF=900，∠CFA=∠CBD.

∵∠CDB=900=∠CAF，∴△CAF∽△CDB，.∴CD=.

说明：（1）这是一道代数、几何的综合题，关键是寻找相似三角形，建立线段之间的比例关系，再根据根与系数关系列等式计算；（2）构造与相似的直角三角形的方法有许多种，同学们不妨试一试.

例7.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，PA是过A点的直线，∠PAC=∠B.

（1）求证：PA是⊙O的切线；

（2）如果弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC=CE∶EB=6∶5，AE∶EB=2∶3，求AB的长和∠FCB的正切值.

解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=900.

∴∠CAB+∠B=900，又∠PAC=∠B，∴∠CAB+∠PAC=900.即PA⊥AB，∴PA是⊙O的切线.

（2）

设CE=6a,AE=2x,则ED=5a，EB=3

x.

由相交弦定理，得2x·3x=5a·6a

∴x=a.

连结AD.由△BCE∽△DAE，得.连结BD.由△BED∽△CEA，得.

∴BD=.由勾股定理得BC=，AD=.

∴.两边平方，整理得，∴（负值舍去）.

∴AD=.∵∠FCB=∠BAD，∴tan∠FCB=

tan∠BAD=.

解几何计算题要求我们必须掌握扎实的几何基础知识，较强的逻辑推理能力，分析问题时应注意分析法与综合法的同时运用，还特别要注意图形中的隐含条件，在平时的学习中要善于总结归纳，只有这样才能掌握好几何计算题的解法.