浙江版高考数学复习高考专题突破四高考中的不等式问题教师用书

浙江2018版高考数学复习高考专题突破四高考中的不等式问题教师用书本文简介：（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习高考专题突破四高考中的不等式问题教师用书1．若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是()A．a＋c≥b－cB．(a－b)c2≥0C．ac>bcD.>0答案B解析A项：当cb?a－b>0，因为c2≥0，所以(a－b)c2≥0.故选B.2．(2016·

浙江2018版高考数学复习高考专题突破四高考中的不等式问题教师用书本文内容：

（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习

高考专题突破四

高考中的不等式问题教师用书

1．若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是(

)

A．a＋c≥b－c

B．(a－b)c2≥0

C．ac>bc

D.>0

答案

B

解析

A项：当cb?a－b>0，因为c2≥0，所以(a－b)c2≥0.故选B.

2．(2016·浙江金华十校联考)已知函数f(x)＝则不等式x＋(x＋1)f(x＋1)≤1的解集是(

)

A．{x|－1≤x≤－1}

B．{x|x≤1}

C．{x|x≤－1}

D．{x|－－1≤x≤－1}

答案

C

解析

由题意不等式x＋(x＋1)f(x＋1)≤1等价于

①或

②

解不等式组①得x0时，原不等式化为(x＋1)≥0?x≥或x≤－1.

③当a－1，即a3的解集为R，则实数m的取值范围是__________．

答案

(1)(a，)

(2)(－∞，－4)∪(2，＋∞)

解析

(1)原不等式即为(x－a)(x－)0，于是目标函数等价于z＝x＋2y－4，即转化为一般的线性规划问题．显然，当直线经过点B时，目标函数取得最大值，zmax＝21.

思维升华

对线性规划问题的实际应用，关键是建立数学模型，要找准目标函数及两个变量，准确列出线性约束条件，然后寻求最优解，最后回到实际问题．

(1)已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为(

)

A．5

B．4

C.

D．2

(2)(2017·杭州调研)一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为10

000元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为5

000元，那么适当安排生产，可产生的最大利润是________元．

答案

(1)B

(2)30

000

解析

(1)

画出满足约束条件的可行域如图所示，

可知当目标函数过直线x－y－1＝0与2x－y－3＝0的交点(2,1)时取得最小值，所以有2a＋b＝2.因为a2＋b2表示原点(0,0)到点(a，b)的距离的平方，所以的最小值为原点到直线2a＋b－2＝0的距离，即()min＝＝2，所以a2＋b2的最小值是4，故选B.

(2)设生产甲种肥料x车皮，生产乙种肥料y车皮，则z＝10

000

x＋5

000y，约束条件为

画出可行域如图所示，由图可知，

在D(2,2)处z有最大值，且zmax＝10

000×2＋5

000×2＝30

000(元)．

题型三

基本不等式的应用

例3

(1)在面积为定值9的扇形中，当扇形的周长取得最小值时，扇形的半径是(

)

A．3

B．2

C．4

D．5

(2)(2016·浙江五校第一次联考)已知a>0，b>0，c>1，且a＋b＝1，则(－2)·c＋的最小值为______．

答案

(1)A

(2)4＋2

解析

(1)设扇形的半径为r，其弧长为l，

由题意可得S＝lr＝9，故lr＝18.

扇形的周长C＝2r＋l≥2＝2＝12，

当且仅当2r＝l，即r＝3，l＝6时取等号．

(2)∵＝＝

＝＋＋2≥2

＋2

＝2＋2，

当且仅当即时等号成立，

∴(－2)·c＋≥2c＋

＝2(c－1)＋＋2

≥2

＋2＝4＋2，

当且仅当2(c－1)＝，即c＝1＋时，等号成立．

综上，所求最小值为4＋2.

思维升华

(1)应用型问题解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型．(2)应用基本不等式求最值要注意检验等号成立的条件，不要忽视问题的实际意义．

(1)设x，y均为正实数，且＋＝1，则xy的最小值为(

)

A．4

B．4

C．9

D．16

(2)某栋楼的建筑成本由土地使用权费和材料工程费构成，已知土地使用权费为2

000元/m2；材料工程费在建造第一层时为400元/m2，以后每增加一层费用增加40元/m2.要使平均每平方米建筑面积的成本费最低，则应把楼盘的楼房设计成________层．

答案

(1)D

(2)10

解析

(1)由＋＝1可得xy＝8＋x＋y.

∵x，y均为正实数，∴xy＝8＋x＋y≥8＋2

(当且仅当x＝y时等号成立)，即xy－2－8≥0，解得≥4，即xy≥16，故xy的最小值为16.

(2)设应把楼房设计成x层，每层有面积y

m2，则平均每平方米建筑面积的成本费为

k＝

＝＋20

x＋380≥2

＋380＝780，当且仅当＝20

x，

即x＝10时取等号，故应把楼房设计成10层．

题型四

绝对值不等式

例4

设不等式|x＋1|＋|x－1|≤2的解集为M.

(1)求集合M；

(2)若x∈M，|y|≤，|z|≤，求证：|x＋2y－3z|≤.

(1)解

①?x∈?；

②?－1≤x≤1；

③?x∈?，

综上所述，不等式的解集即集合M为[－1,1]．

(2)证明

|x＋2y－3z|≤|x|＋2|y|＋3|z|

≤1＋2×＋3×＝，

∴|x＋2y－3z|≤.

思维升华

(1)解绝对值不等式可以利用绝对值的几何意义，零点分段法、平方法、构造函数法等．

(2)利用绝对值三角不等式可以证明不等式或求取值．

(1)(2016·杭州质检)已知函数f(x)＝|x－5|＋|x＋3|＋|x－3|＋|x＋5|－c，若存在正常数m，使f(m)＝0，则不等式f(x)g(x)，即f(x)＝|x－3|＋|x＋4|的图象恒在g(x)＝k(x－3)图象的上方，

又∵f(x)＝|x－3|＋|x＋4|＝

g(x)＝k(x－3)的图象恒过定点P(3,0)，作函数y＝f(x)，y＝g(x)的图象如图，其中kPB＝2，A(－4,7)，

∴kPA＝－1，

由图可知，要使得f(x)的图象恒在g(x)图象的上方，则需－1

3．某小型工厂安排甲、乙两种产品的生产，已知工厂生产甲、乙两种产品每吨所需要的原材料A，B，C的数量和一周内可用资源数量如下表所示：

原材料

甲(吨)

乙(吨)

资源数量(吨)

A

1

1

50

B

4

0

160

C

2

5

200

如果甲产品每吨的利润为300元，乙产品每吨的利润为200元，那么应如何安排生产，工厂每周才可获得最大利润？

解

设工厂一周内安排生产甲产品x吨、乙产品y吨，所获周利润为z元．依据题意，得目标函数为z＝300

x＋200y，约束条件为

欲求目标函数z＝300

x＋200y＝100(3x＋2y)的最大值，先画出约束条件的可行域，如图中阴影部分所示，则点A(40,0)，B(40,10)，C(，)，D(0,40)．

作直线3x＋2y＝0，当移动该直线过点B(40,10)时，3x＋2y取得最大值，则z＝300

x＋200y取得最大值(也可通过代入凸多边形端点进行计算，比较大小求得)．故zmax＝300×40＋200×10＝14

000.

所以工厂每周生产甲产品40吨，乙产品10吨时，才可获得最大周利润，最大利润为14

000元．

4．(2016·全国丙卷)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.

(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；

(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．

解

(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.

解不等式|2x－2|＋2≤6，得－1≤x≤3.

因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．

(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，

当x＝时等号成立，

所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①

当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．

当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.

所以a的取值范围是[2，＋∞)．

5．(2016·浙江)已知a≥3，函数F(x)＝min{2|x－1|，x2－2ax＋4a－2}，其中min{p，q}＝

(1)求使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围；

(2)①求F(x)的最小值m(a)；

②求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a)．

解

(1)由于a≥3，故当x≤1时，(x2－2ax＋4a－2)－2|x－1|＝x2＋2(a－1)(2－x)＞0，

当x＞1时，(x2－2ax＋4a－2)－2|x－1|＝(x－2)(x－2a)．

所以使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围是[2,2a]．

(2)①设函数f(x)＝2|x－1|，g(x)＝x2－2ax＋4a－2，则f(x)min＝f(1)＝0，g(x)min＝g(a)＝－a2＋4a－2，

所以，由F(x)的定义知m(a)＝min，

即m(a)＝

②当0≤x≤2时，F(x)≤f(x)≤max＝2＝F(2)．

当2

当a≥4时，34－8a≤2；

当3≤a2，

所以M(a)＝