版高考数学一轮复习选修系列14.1坐标系与参数方程第2课时参数方程理

2018版高考数学一轮复习选修系列14.1坐标系与参数方程第2课时参数方程理本文简介：第2课时参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程．2．常见

2018版高考数学一轮复习选修系列14.1坐标系与参数方程第2课时参数方程理本文内容：

第2课时

参数方程

1．参数方程和普通方程的互化

(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．

(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程．

2．常见曲线的参数方程和普通方程

点的

轨迹

普通方程

参数方程

直线

y－y0＝tan

α(x－x0)

(t为参数)

圆

x2＋y2＝r2

(θ为参数)

椭圆

＋＝1(a>b>0)

(φ为参数)

抛物线

y2＝2px

(p>0)

(t为参数)

1．直线l的参数方程为(t为参数)，求直线l的斜率．

解

将直线l的参数方程化为普通方程为y－2＝－3(x－1)，因此直线l的斜率为－3.

2．已知直线l1：(t为参数)与直线l2：(s为参数)垂直，求k的值．

解

直线l1的方程为y＝－x＋，斜率为－；

直线l2的方程为y＝－2x＋1，斜率为－2.

∵l1与l2垂直，

∴(－)×(－2)＝－1?k＝－1.

3．已知点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，求|PF|的值．

解

将抛物线的参数方程化为普通方程为y2＝4x，则焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，又P(3，m)在抛物线上，由抛物线的定义知|PF|＝3－(－1)＝4.

4．(2016·北京东城区模拟)已知曲线C的极坐标方程是ρ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t为参数)，求直线l与曲线C相交所截的弦长．

解

曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝1，

直线l的普通方程为3x－4y＋3＝0.

圆心到直线的距离d＝＝.

∴直线l与曲线C相交所截的弦长为2＝.

题型一

参数方程与普通方程的互化

例1

(1)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x2＋y2－x＝0的参数方程．

(2)在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为(s为参数)，曲线C的参数方程为(t为参数)，若l与C相交于A，B两点，求|AB|的长．

解

(1)圆的半径为，记圆心为C(，0)，连接CP，则∠PCx＝2θ，故xP＝＋cos

2θ＝cos2θ，

yP＝sin

2θ＝sin

θcos

θ(θ为参数)．

所以圆的参数方程为(θ为参数)．

(2)直线l的普通方程为x＋y＝2，曲线C的普通方程为y＝(x－2)2(y≥0)，联立两方程得x2－3x＋2＝0，求得两交点坐标为(1,1)，(2,0)，所以|AB|＝.

思维升华

消去参数的方法一般有三种：

(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；

(2)利用三角恒等式消去参数；

(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数．

将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围．

(1)求直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数．

(2)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，求常数a的值．

解

(1)将消去参数t得直线x＋y－1＝0；

将消去参数α得圆x2＋y2＝9.

又圆心(0,0)到直线x＋y－1＝0的距离d＝0，所以方程有两个实数解．故曲线C1与曲线C2的交点个数为2.

6．(2016·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.

(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A、B两点，|AB|＝，求l的斜率．

解

(1)由x＝ρcos

θ，y＝ρsin

θ可得圆C的极坐标方程ρ2＋12ρcos

θ＋11＝0.

(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．

设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcos

α＋11＝0.

于是ρ1＋ρ2＝－12cos

α，ρ1ρ2＝11.

|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝.

由|AB|＝得cos2α＝，tan

α＝±.

所以l的斜率为或－.

7．(2015·陕西)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝2sin

θ.

(1)写出⊙C的直角坐标方程；

(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．

解

(1)由ρ＝2sin

θ，得ρ2＝2ρsin

θ，

从而有x2＋y2＝2y，

所以x2＋(y－)2＝3.

(2)设P，又C(0，)，

则|PC|＝

＝，

故当t＝0时，PC取得最小值，

此时，P点的直角坐标为(3,0)．

8．(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos

θ.

(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan

α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.

解

(1)消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2，C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．

将x＝ρcos

θ，y＝ρsin

θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin

θ＋1－a2＝0.

(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组

若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin

θcos

θ＋1－a2＝0，由已知tan

θ＝2，可得16cos2θ－8sin

θcos

θ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)，a＝1.

a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上．

所以a＝1.

9．(2016·江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(θ为参数)．设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段|AB|的长．

解

直线l的方程化为普通方程为x－y－＝0，

椭圆C的方程化为普通方程为x2＋＝1，

联立方程组得

解得或

∴A(1,0)，B.

故|AB|＝＝.

10．(2016·全国丙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为

(α为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.

(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标系方程；

(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．

解

(1)C1的普通方程为＋y2＝1.C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.

(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos

α，sin

α)．

因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2距离d(α)的最小值，

d(α)＝＝.

当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.