版高考数学第8章立体几何4第4讲直线、平面平行的判定与性质教案理

2019版高考数学第8章立体几何4第4讲直线、平面平行的判定与性质教案理本文简介：第4讲直线、平面平行的判定与性质1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行?线面平行)因为l∥a，a?α，l?α，所以l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线

2019版高考数学第8章立体几何4第4讲直线、平面平行的判定与性质教案理本文内容：

第4讲

直线、平面平行的判定与性质

1．直线与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

判定定理

平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行?线面平行)

因为l∥a，

a?α，l?α，

所以l∥α

性质定理

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行?线线平行”)

因为l∥α，

l?β，α∩

β＝b，

所以l∥b

2.平面与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

判定定理

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行?面面平行”)

因为a∥β，

b∥β，a∩

b＝P，

a?α，b?α，

所以α∥β

性质定理

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

因为α∥β，

α∩γ＝a，

β∩γ＝b，

所以a∥b

3.线、面平行中的三个重要结论

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β；

(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b；

(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．(

)

(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．(

)

(3)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(

)

(4)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(

)

(5)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(

)

答案：(1)×

(2)×

(3)×

(4)×

(5)√

(教材习题改编)如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(

)

A．一条直线不相交B．两条直线不相交

C．无数条直线不相交D．任意一条直线都不相交

解析：选D.因为a∥平面α，直线a与平面α无公共点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交，故选D.

a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出四个命题：

①?α∥β

②?α∥β

③?a∥α

④?a∥α

其中正确的命题是________．

解析：②正确．①错在α与β可能相交．③④错在a可能在α内．

答案：②

(教材习题改编)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．

解析：如图，连接AC，BD交于O点，连接OE，因为OE∥BD1，而OE?平面ACE，BD1?平面ACE，所以BD1∥平面ACE.

答案：平行

线面平行的判定与性质(高频考点)

平行关系是空间几何中的一种重要关系，包括线线平行、线面平行、面面平行，其中线面平行在高考试题中出现的频率很高，一般出现在解答题的某一问中．高考对线面平行的判定与性质的考查主要有以下三个命题角度：

(1)线面位置关系的判断；

(2)线面平行的证明；

(3)线面平行性质的应用．

[典例引领]

角度一

线面位置关系的判断

设m，n表示不同直线，α，β表示不同平面，则下列结论中正确的是(

)

A．若m∥α，m∥n，则n∥α

B．若m?α，n?β，m∥β，n∥α，则α∥β

C．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β

D．若α∥β，m∥α，n∥m，n?β，则n∥β

【解析】

A错误，n有可能在平面α内；B错误，平面α有可能与平面β相交；C错误，n也有可能在平面β内；D正确，易知m∥β或m?β，若m?β，又n∥m，n?β，所以n∥β，若m∥β，过m作平面γ交平面β于直线l，则m∥l，又n∥m，所以n∥l，又n?β，l?β，所以n∥β.

【答案】

D

角度二

线面平行的证明

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点．求证：

(1)BF∥HD1；

(2)EG∥平面BB1D1D.

【证明】

(1)如图所示，取BB1的中点M，连接MH，MC1，易证四边形HMC1D1是平行四边形，

所以HD1∥MC1.

又因为在平面BCC1B1中，BM綊FC1，

所以四边形BMC1F为平行四边形，

所以MC1∥BF，

所以BF∥HD1.

(2)取BD的中点O，连接EO，D1O，

则OE∥DC且OE＝DC，

又D1G∥DC且D1G＝DC，

所以OE綊D1G，

所以四边形OEGD1是平行四边形，

所以GE∥D1O.

又D1O?平面BB1D1D，GE?平面BB1D1D，

所以EG∥平面BB1D1D.

角度三

线面平行性质的应用

如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1与平面BB1D交于FG.证明：FG∥平面AA1B1B.

【证明】

在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1?平面BB1D，CC1?平面BB1D，

所以CC1∥平面BB1D，

又CC1?平面CEC1，平面CEC1与平面BB1D交于FG，

所以CC1∥FG，因为BB1∥CC1，

所以BB1∥FG，而BB1?平面AA1B1B，FG?平面AA1B1B，

所以FG∥平面AA1B1B.

证明直线与平面平行的常用方法

(1)定义法：证明直线与平面没有公共点，通常要借助于反证法来证明．

(2)判定定理法：在利用判定定理时，关键是找到平面内与已知直线平行的直线，可先直观判断题中是否存在这样的直线，若不存在，则需作出直线，常考虑利用三角形的中位线、平行四边形的对边平行或过已知直线作一平面，找其交线进行证明．

[通关练习]

1．(2017·高考全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(

)

解析：选A.对于选项B，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB∥平面MNQ.故选A.

2.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，F是AB的中点，E是PD的中点．

(1)证明：PB∥平面AEC；

(2)在PC上求一点G，使FG∥平面AEC，并证明你的结论．

解：(1)证明：连接BD与AC交于点O，连接EO.

因为四边形ABCD为矩形，

所以O为BD的中点．

又E为PD的中点，

所以EO∥PB.

因为EO?平面AEC，PB?平面AEC，

所以PB∥平面AEC.

(2)PC的中点G即为所求的点．

证明如下：

连接GE、FG，

因为E为PD的中点，

所以GE綊CD.

又F为AB的中点，且四边形ABCD为矩形，

所以FA綊CD.

所以FA綊GE.

所以四边形AFGE为平行四边形，

所以FG∥AE.又FG?平面AEC，AE?平面AEC，

所以FG∥平面AEC.

面面平行的判定与性质

[典例引领]

如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

(1)B，C，H，G四点共面；

(2)平面EFA1∥平面BCHG.

【证明】

(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，

所以GH∥B1C1，又B1C1∥BC，

所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．

(2)在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，

所以EF∥BC，

因为EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，

所以EF∥平面BCHG.

又因为G，E分别为A1B1，AB的中点，

所以A1G綊EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，

所以A1E∥GB.

因为A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，

所以A1E∥平面BCHG.

又因为A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG.

1．在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.

证明：如图所示，连接HD，A1B，

因为D为BC1的中点，

H为A1C1的中点，

所以HD∥A1B，

又HD?平面A1B1BA，

A1B?平面A1B1BA，

所以HD∥平面A1B1BA.

2．在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.

证明：如图所示，

连接A1C交AC1于点M，

因为四边形A1ACC1是平行四边形，

所以M是A1C的中点，连接MD，

因为D为BC的中点，

所以A1B∥DM.

因为A1B?平面A1BD1，

DM?平面A1BD1，

所以DM∥平面A1BD1.

又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，

所以四边形BDC1D1为平行四边形，

所以DC1∥BD1.

又DC1?平面A1BD1，BD1?平面A1BD1，

所以DC1∥平面A1BD1，

又因为DC1∩DM＝D，DC1，DM?平面AC1D，

所以平面A1BD1∥平面AC1D.

如图，AB∥平面α∥平面β，过A，B的直线m，n分别交α，β于C，E和D，F，若AC＝2，CE＝3，BF＝4，则BD的长为(

)

A.

B.

C.D.

解析：选C.由AB∥α∥β，易证

＝.

即＝，

所以BD＝＝＝.

线、面平行中的探索性问题

[典例引领]

如图，四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点．

(1)求证：CE∥平面PAD；

(2)在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．

【解】

(1)证明：如图所示，取PA的中点H，连接EH，DH，

因为E为PB的中点，

所以EH∥AB，EH＝AB，

又AB∥CD，CD＝AB.

所以EH∥CD，EH＝CD，

因此四边形DCEH是平行四边形，

所以CE∥DH，

又DH?平面PAD，CE?平面PAD，

所以CE∥平面PAD.

(2)如图所示，取AB的中点F，连接CF，EF，

所以AF＝AB，又CD＝AB，所以AF＝CD，

又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形，

所以CF∥AD，

又CF?平面PAD，

所以CF∥平面PAD，

由(1)可知CE∥平面PAD，

又CE∩CF＝C，

故平面CEF∥平面PAD，

故存在AB的中点F满足要求．

解决探索性问题的方法

(1)根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设．

(2)按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使……成立”“只需使……成立”．

如图，已知在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥DC，AB∥DC，DC＝DD1＝2AD＝2AB＝2.

(1)求证：DB⊥平面B1BCC1；

(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使得D1E∥平面A1BD，并说明理由．

解：(1)证明：因为AB∥DC，AD⊥DC，

所以AB⊥AD，

在Rt△ABD中，AB＝AD＝1，

所以BD＝，易求BC＝，

因为CD＝2，

所以BD⊥BC.

又BD⊥BB1，B1B∩BC＝B，

所以BD⊥平面B1BCC1.

(2)DC的中点为E点．

如图，连接BE，

因为DE∥AB，DE＝AB，

所以四边形ABED是平行四边形．

所以AD∥BE.

又AD∥A1D1，所以BE∥A1D1，

所以四边形A1D1EB是平行四边形，

所以D1E∥A1B.

因为D1E?平面A1BD，所以D1E∥平面A1BD.

线线、线面、面面平行间的转化

线线平行线面平行面面性质定理判定定理平行

其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．

线面、面面平行的判定中所遵循的原则

一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”

到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，不可过于“模式化”．

易错防范

(1)直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件．

(2)面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件．

1．在空间内，下列命题正确的是(

)

A．平行直线的平行投影重合

B．平行于同一直线的两个平面平行

C．垂直于同一平面的两个平面平行

D．垂直于同一平面的两条直线平行

解析：选D.对于A，平行直线的平行投影也可能互相平行，或为两个点，故A错误；对于B，平行于同一直线的两个平面也可能相交，故B错误；对于C，垂直于同一平面的两个平面也可能相交，故C错误；而D为直线和平面垂直的性质定理，正确．

2．平面α∥平面β的一个充分条件是(

)

A．存在一条直线a，a∥α，a∥β

B．存在一条直线a，a?α，a∥β

C．存在两条平行直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α

D．存在两条异面直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α

解析：选D.若α∩β＝l，a∥l，a?α，a?β，a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a?α，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a?α，a∥l，b?β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.

3．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是(

)

A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β

B．若m∥n，m?α，n?β，则α∥β

C．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β

D．若m∥n，m∥α，则n∥α

解析：选C.对于A，若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β或γ与β相交；对于B，若m∥n，m?α，n?β，则α∥β或α与β相交；易知C正确；对于D，若m∥n，m∥α，则n∥α或n在平面α内．故选C.

4.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则(

)

A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形

B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形

C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形

D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形

解析：选B.由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EF綊BD，又EF?平面BCD，所以EF∥平面BCD.又H，G分别为BC，CD的中点，所以HG綊BD，所以EF∥HG且EF≠HG.所以四边形EFGH是梯形．

5.在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝12，平面DEFH分别与AB、BC、SC、SA交于D、E、F、H，且它们分别是AB、BC、SC、SA的中点，那么四边形DEFH的面积为(

)

A．18

B．18

C．36

D．36

解析：选A.因为D、E、F、H分别是AB、BC、SC、SA的中点，所以DE∥AC，FH∥AC，DH∥SB，EF∥SB，则四边形DEFH是平行四边形，且HD＝SB＝6，DE＝AC＝3.如图，取AC的中点O，连接OB、SO，因为SA＝SC＝12，AB＝BC＝6，所以AC⊥SO，AC⊥OB，又SO∩OB＝O，所以AO⊥平面SOB，所以AO⊥SB，则HD⊥DE，即四边形DEFH是矩形，所以四边形DEFH的面积S＝6×3＝18，故选A.

6．设m，l表示直线，α表示平面，若m?α，则“l∥α”是“l∥m”的________条件．(填“充分”“必要”“充要”“既不充分也不必要”)

解析：m?α，l∥α不能推出l∥m；m?α，l∥m也不能推出l∥α，所以是既不充分也不必要条件．

答案：既不充分也不必要

7.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．

解析：因为EF∥平面AB1C，EF?平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，

所以EF∥AC，所以F为DC的中点．

故EF＝AC＝.

答案：

8．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是A1B1的中点，过点A1作与截面PBC1平行的截面，所得截面的面积是________．

解析：如图，取AB，C1D1的中点E，F，连接A1E，A1F，EF，则平面A1EF∥平面BPC1.

在△A1EF中，

A1F＝A1E＝，EF＝2，

S△A1EF＝×2×＝，

从而所得截面面积为2S△A1EF＝2.

答案：2

9.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：

(1)直线EG∥平面BDD1B1；

(2)平面EFG∥平面BDD1B1.

证明：(1)如图，连接SB，

因为E、G分别是BC、SC的中点，

所以EG∥SB.

又因为SB?平面BDD1B1，

EG?平面BDD1B1，

所以直线EG∥平面BDD1B1.

(2)连接SD，

因为F、G分别是DC、SC的中点，

所以FG∥SD.

又因为SD?平面BDD1B1，FG?平面BDD1B1，

所以FG∥平面BDD1B1，又EG?平面EFG，

FG?平面EFG，EG∩FG＝G，

所以平面EFG∥平面BDD1B1.

10．(2018·云南省11校跨区调研)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，AD＝2，∠ACD＝60°，E为CD的中点．

(1)求证：BC∥平面PAE；

(2)求点A到平面PCD的距离．

解：(1)证明：因为AB＝，BC＝1，∠ABC＝90°，

所以AC＝2，∠BCA＝60°.

在△ACD中，因为AD＝2，AC＝2，∠ACD＝60°，

所以AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos∠ACD，

所以CD＝4，所以AC2＋AD2＝CD2，

所以△ACD是直角三角形，

又E为CD中点，

所以AE＝CD＝CE，

因为∠ACD＝60°，

所以△ACE为等边三角形，

所以∠CAE＝60°＝∠BCA，

所以BC∥AE，

又AE?平面PAE，BC?平面PAE，

所以BC∥平面PAE.

(2)设点A到平面PCD的距离为d，根据题意可得，

PC＝2，PD＝CD＝4，

所以S△PCD＝2，

因为VP-ACD＝VA-PCD，

所以·S△ACD·PA＝·S△PCD·d，

所以××2×2×2＝×2d，

所以d＝，

所以点A到平面PCD的距离为.

1．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：

①没有水的部分始终呈棱柱形；

②水面EFGH所在四边形的面积为定值；

③棱A1D1始终与水面所在平面平行；

④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值．

其中正确的个数是(

)

A．1B．2

C．3D．4

解析：选C.由题图，显然①是正确的，②是错的；

对于③因为A1D1∥BC，BC∥FG，

所以A1D1∥FG且A1D1?平面EFGH，

所以A1D1∥平面EFGH(水面)．

所以③是正确的；

因为水是定量的(定体积V)．

所以S△BEF·BC＝V，

即BE·BF·BC＝V.

所以BE·BF＝(定值)，即④是正确的，故选C.

2．(2018·安徽安庆模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、Q分别是棱D1C1、A1D1、BC的中点，点P在BD1上且BP＝BD1.则以下四个说法：

①MN∥平面APC；

②C1Q∥平面APC；

③A、P、M三点共线；

④平面MNQ∥平面APC.

其中说法正确的是________．

解析：①连接MN，AC，则MN∥AC，连接AM、CN，

易得AM、CN交于点P，即MN?面APC，所以MN∥面APC是错误的；

②由①知M、N在平面APC上，由题易知AN∥C1Q，

所以C1Q∥面APC是正确的；

③由①知A，P，M三点共线是正确的；

④由①知MN?面APC，

又MN?面MNQ，

所以面MNQ∥面APC是错误的．

答案：②③

3．(2018·福建泉州质检)在如图所示的多面体中，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，AD∥BC，AB＝CD，∠ABC＝60°，BC＝2AD＝4DE＝4.

(1)在AC上求作点P，使PE∥平面ABF，请写出作法并说明理由；

(2)求三棱锥A-CDE的高．

解：(1)取BC的中点G，连接DG，交AC于点P，连接EG，EP.此时P为所求作的点(如图所示)．

下面给出证明：因为BC＝2AD，G为BC的中点，

所以BG＝AD.

又因为BC∥AD，

所以四边形BGDA是平行四边形，

故DG∥AB，即DP∥AB.

又AB?平面ABF，DP?平面ABF，

所以DP∥平面ABF.

因为AF∥DE，AF?平面ABF，DE?平面ABF，

所以DE∥平面ABF.

又因为DP?平面PDE，DE?平面PDE，PD∩DE＝D，

所以平面PDE∥平面ABF，

因为PE?平面PDE，

所以PE∥平面ABF.

(2)在等腰梯形ABCD中，因为∠ABC＝60°，BC＝2AD＝4，

所以可求得梯形的高为，从而△ACD的面积为×2×＝.

因为DE⊥平面ABCD，

所以DE是三棱锥E-ACD的高．

设三棱锥A-CDE的高为h.

由VA-CDE＝VE-ACD，可得×S△CDE×h＝S△ACD×DE，即×2×1×h＝×1，解得h＝.

故三棱锥A-CDE的高为.

4．如图所示，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：

(1)BE∥平面DMF；

(2)平面BDE∥平面MNG.

证明：(1)如图所示，设DF与GN交于点O，连接AE，则AE必过点O，

连接MO，则MO为△ABE的中位线，

所以BE∥MO.

因为BE?平面DMF，MO?平面DMF，

所以BE∥平面DMF.

(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，

所以DE∥GN.

因为DE?平面MNG，GN?平面MNG，

所以DE∥平面MNG.

因为M为AB的中点，

所以MN为△ABD的中位线，

所以BD∥MN.

因为BD?平面MNG，MN?平面MNG，

所以BD∥平面MNG.

因为DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，

所以平面BDE∥平面MNG.