届高三数学二轮复第四篇考前冲刺活用16个二级结论文

2018届高三数学二轮复第四篇考前冲刺活用16个二级结论文本文简介：活用16个二级结论结论一奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在集合D上的奇函数,则对任意的x∈D,都有f(x)+f(-x)=0.特别地,若奇函数f(x)在D上有最值,则f(x)max+f(x)min=0,且若0∈D,则f(0)=0.例1设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m=.答案2解

2018届高三数学二轮复第四篇考前冲刺活用16个二级结论文本文内容：

活用16个二级结论

结论一

奇函数的最值性质

已知函数f(x)是定义在集合D上的奇函数,则对任意的x∈D,都有f(x)+f(-x)=0.特别地,若奇函数f(x)在D上有最值,则f(x)max+f(x)min=0,且若0∈D,则f(0)=0.

例1

设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m=

.

答案

2

解析

f(x)==1+,令g(x)=,则g(x)为奇函数,有g(x)max+g(x)min=0,故M+m=2.

跟踪集训

1.(1)已知函数f(x)=ln(-3x)+1,则f(lg

2)+f=(

)

A.-1B.0C.1D.2

(2)对于函数f(x)=asin

x+bx+c(其中,a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果一定不可能是(

)

A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2

结论二

函数周期性问题

已知定义在R上的函数f(x),若对任意的x∈R,总存在非零常数T,使得f(x+T)=f(x),则称f(x)是周期函数,T为其一个周期.

常见的与周期函数有关的结论如下:

(1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.

(2)如果f(x+a)=(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.

(3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.

(4)如果f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=6a.

例2

已知定义在R上的函数f(x)满足f=-f(x),且f(-2)=f(-1)=-1,f(0)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2

014)+f(2

015)=(

)

A.-2B.-1C.0D.1

答案

A

解析

因为f=-f(x),所以f(x+3)=-f=f(x),则f(x)的周期T=3.

则有f(1)=f(-2)=-1,f(2)=f(-1)=-1,f(3)=f(0)=2,所以f(1)+f(2)+f(3)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2

014)+f(2

015)=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2

014)+f(2

015)+f(2

016)-f(2

016)

=672×[f(1)+f(2)+f(3)]-f(2

016)=-f(0+3×672)=-f(0)=-2,故选A.

跟踪集训

2.(1)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=(

)

A.-2B.-1C.0D.1

(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=则f(2

014)=(

)

A.-1B.0C.1D.2

结论三

函数的对称性

已知函数f(x)是定义在R上的函数.

(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=对称,特别地,若f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.

(2)若f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图象关于点中心对称.特别地,若f(a+x)+f(a-x)=2b恒成立,则y=f(x)的图象关于点(a,b)中心对称.

例3

已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x),且在[1,+∞)上是增函数,不等式f(ax+2)≤f(x-1)对任意的x∈恒成立,则实数a的取值范围是(

)

A.[-3,-1]B.[-2,0]

C.[-5,-1]D.[-2,1]

答案

B

解析

由定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x),且在[1,+∞)上是增函数,可得函数图象关于直线x=1对称,且函数f(x)在(-∞,1)上递减,由此得出自变量离1越近,函数值越小.观察四个选项,发现0,1不存在于A,C两个选项的集合中,B中集合是D中集合的子集,故可通过验证a的值(取0与1时两种情况)得出正确选项.当a=0时,不等式f(ax+2)≤f(x-1)化为f(2)≤f(x-1),由函数f(x)的图象特征可得|2-1|≤|x-1-1|,解得x≥3或x≤1,满足不等式f(ax+2)≤f(x-1)对任意x∈恒成立,由此排除A,C两个选项.当a=1时,不等式f(ax+2)≤f(x-1)化为f(x+2)≤f(x-1),由函数f(x)的图象特征可得|x+2-1|≤|x-1-1|,解得x≤,不满足不等式f(ax+2)≤f(x-1)对任意x∈恒成立,由此排除D选项.综上可知,选B.

跟踪集训

3.(1)若偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=

.

(2)函数y=f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f(1)=4,则f(2

016)+f(2

017)+f(2

018)的值为

.

结论四

反函数的图象与性质

若函数y=f(x)是定义在非空数集D上的单调函数,则存在反函数y=f-1(x).特别地,y=ax与y=logax(a>0且a≠1)互为反函数,两函数图象在同一直角坐标系内关于直线y=x对称,即(x0,f(x0))与(f(x0),x0)分别在函数y=f(x)与反函数y=f-1(x)的图象上.

例4

设点P在曲线y=ex上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为(

)

A.1-ln

2B.(1-ln

2)

C.1+ln

2D.(1+ln

2)

答案

B

解析

由题意知函数y=ex与y=ln(2x)互为反函数,其图象关于直线y=x对称,如图所示,两曲线上点之间的最小距离恰好是y=x与y=ex图象上点的最小距离的2倍,设y=ex上点P0(x0,y0)处的切线与y=x平行,有=1,解得x0=ln

2,y0=1,所以y=x与y=ex图象上点的最小距离是(1-ln

2),故所求距离为(1-ln

2)×2=(1-ln

2),故选B.

跟踪集训

4.若x1满足2x+2x=5,x2满足2x+2log2(x-1)=5,则x1+x2=(

)

A.

B.3

C.

D.4

结论五

两个对数、指数经典不等式

1.对数形式:1-≤ln(x+1)≤x(x>-1),当且仅当x=0时,等号成立.

2.指数形式:ex≥x+1(x∈R),当且仅当x=0时,等号成立.

例5

设函数f(x)=1-e-x.证明:当x>-1时,f(x)≥.

证明

f(x)≥(x>-1)?1-e-x≥(x>-1)?1-≥e-x(x>-1)?≥(x>-1)?x+1≤ex(x>-1).由经典不等式ex≥x+1(x∈R)恒成立可知x>-1时,ex≥x+1.即x>-1时,f(x)≥.

跟踪集训

5.(1)已知函数f(x)=,则y=f(x)的图象大致为(

)

(2)已知函数f(x)=ex,x∈R.证明:曲线y=f(x)与曲线y=x2+x+1有唯一公共点.

结论六

三点共线的充要条件

设平面上三点O,A,B不共线,则平面上任意一点P与A,B共线的充要条件是存在实数λ与μ,使得=λ+μ,且λ+μ=1.特别地,当P为线段AB的中点时,=+.

例6

已知A,B,C是直线l上不同的三个点,点O不在直线l上,则使等式x2+x+=0成立的实数x的取值集合为(

)

A.{-1}B.?C.{0}D.{0,-1}

答案

A

解析

∵=-,∴x2+x+-=0,即=-x2+(1-x),∴-x2+(1-x)=1,即x=0或x=-1(x=0舍去),∴x=-1.

跟踪集训

6.在梯形ABCD中,已知AB∥CD,AB=2CD,M、N分别为CD、BC的中点.若=λ+μ,则λ+μ=

.

结论七

三角形“四心”的向量形式

设O为△ABC所在平面上一点,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,则

(1)O为△ABC的外心?||=||=||=.

(2)O为△ABC的重心?++=0.

(3)O为△ABC的垂心?·=·=·.

(4)O为△ABC的内心?a+b+c=0.

例7

已知A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足=[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)],λ∈R,则点P的轨迹一定经过(

)

A.△ABC的内心B.△ABC的垂心

C.△ABC的重心D.AB边的中点

答案

C

解析

取AB的中点D,则2=+,∵=[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)],∴=[2(1-λ)+(1+2λ)]

=+,而+=1,∴P,C,D三点共线,∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心.

跟踪集训

7.(1)P是△ABC所在平面内一点,若·=·=·,则P是△ABC的(

)

A.外心B.内心C.重心D.垂心

(2)O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ,λ∈(0,+∞),则P点的轨迹一定通过△ABC的(

)

A.外心B.内心C.重心D.垂心

(3)O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ,λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的(

)

A.外心B.内心C.重心D.垂心

结论八

等差数列

1.若Sm,S2m,S3m分别为等差数列{an}的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列.

2.若等差数列{an}的项数为2m,公差为d,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m=m(am+am+1),S偶-S奇=md,=.

3.若等差数列{an}的项数为2m-1,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m-1=(2m-1)am,S奇=mam,S偶=(m-1)am,S奇-S偶=am,=.

例8

(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=(

)

A.3B.4C.5D.6

(2)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知am-1+am+1-=0,S2m-1=38,则m等于

.

答案

(1)C

(2)10

解析

(1)解法一:∵数列{an}为等差数列,且前n项和为Sn,∴数列也为等差数列.

∴+=,即+=0,解得m=5,经检验,m=5符合题意.故选C.

解法二:∵Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,∴am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,∴公差d=am+1-am=1,由Sn=na1+d=na1+,得

由①得a1=,代入②可得m=5.

(2)因为数列{an}是等差数列,所以am-1+am+1=2am,由am-1+am+1-=0,得2am-=0,又S2m-1=38,所以am≠0,所以am=2,由S2m-1=38,即=38,即(2m-1)×2=38,解得m=10.

跟踪集训

8.(1)等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10=20,S20=50,则S30=

.

(2)一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27,则数列的公差d=

.

结论九

等比数列

已知等比数列{an},其公比为q,前n项和为Sn.

(1)数列也为等比数列,其公比为.

(2)若q=1,则Sn=na1,且{an}同时为等差数列.

(3)若q≠1,则Sn===-·qn=λ-λ·qn.

(4)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍为等比数列(q≠-1或q=-1且n为奇数),其公比为qn.

(5)Sn,,,…仍为等比数列,公比为.

例9

(1)已知{an}是首项为1的等比数列,Sn是{an}的前n项和,且9S3=S6,则数列的前5项和为(

)

A.或5B.或5C.D.

(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则=(

)

A.2B.C.D.3

答案

(1)C

(2)B

解析

(1)设数列{an}的公比为q,若q=1,则S3=3,S6=6,9S3≠S6,与已知矛盾,故q≠1.

所以有=,即9=1+q3.

解得q=2.

所以数列是首项为1,公比为的等比数列,其前5项和为=.故选C.

(2)由已知=3,得S6=3S3,因为S3,S6-S3,S9-S6也为等比数列,所以(S6-S3)2=S3(S9-S6),则(2S3)2=S3(S9-3S3),化简得S9=7S3,从而==.故选B.

跟踪集训

9.在等比数列{an}中,公比为q,其前n项和为Sn.已知S5=,a3=,则++++=

.

结论十

多面体的外接球和内切球

1.长方体的体对角线长d与共点三条棱长a,b,c之间的关系为d2=a2+b2+c2;若长方体外接球的半径为R,则有(2R)2=a2+b2+c2.

2.棱长为a的正四面体内切球半径r=a,外接球半径R=a.

例10

已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O(重量忽略不计),现从该三棱锥顶端向内注水,小球慢慢上浮,若注入的水的体积是该三棱锥体积的时,小球与该三棱锥的各侧面均相切(与水面也相切),则小球的表面积等于(

)

A.B.C.D.

答案

C

解析

当注入水的体积是该三棱锥体积的时,设水面上方的小三棱锥的棱长为x(各棱长都相等),依题意,=,得x=2,易得小三棱锥的高为,设小球半径为r,则S底面·=4··S底面·r(S底面为小三棱锥的底面积),得r=,故小球的表面积S=4πr2=π.故选C.

跟踪集训

10.(1)已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形,直角边长是1,且其外接球的表面积是16π,则该三棱柱的侧棱长为(

)

A.B.2C.4D.3

(2)已知正三角形ABC的三个顶点都在半径为2的球面上,球心O到平面ABC的距离为1,点E是线段AB的中点,过点E作球O的截面,则截面面积的最小值是(

)

A.B.2πC.D.3π

结论十一

焦点三角形的面积公式

1.在椭圆+=1(a>b>0),F1,F2分别为左、右焦点,P为椭圆上一点,则△PF1F2的面积=b2·tan,其中θ=∠F1PF2.

2.在双曲线-=1(a>0,b>0)中,F1,F2分别为左、右焦点,P为双曲线上一点,则△PF1F2的面积=,其中θ=∠F1PF2.

例11

已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(

)

A.B.C.3D.2

答案

A

解析

设椭圆和双曲线的标准方程分别为+=1(a>b>0)和-=1(a1>0,b1>0,a>a1),它们的半焦距为c(c>0).根据焦点三角形面积公式可得:b2tan=,∴b2=3.又消去b2和得a2+3=4c2,∴+=1,即+=1.设=2cos

θ,=sin

θ,则+=2cos

θ+sin

θ=sin≤,因此椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为,故选A.

跟踪集训

11.(1)如图,F1,F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是(

)

A.B.

C.D.

(2)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C一上点,且⊥.若△PF1F2的面积为9,则b=

.

结论十二

圆锥曲线的切线问题

1.过圆C:(x-a)2+(y-b)2=R2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=R2.

2.过椭圆+=1上一点P(x0,y0)的切线方程为+=1.

3.已知点M(x0,y0),抛物线C:y2=2px(p≠0)和直线l:y0y=p(x+x0).

(1)当点M在抛物线C上时,直线l与抛物线C相切,其中M为切点,l为切线.

(2)当点M在抛物线C外时,直线l与抛物线C相交,其中两交点与点M的连线分别是抛物线的切线,即直线l为切点弦所在的直线.

(3)当点M在抛物线C内时,直线l与抛物线C相离.

例12

已知抛物线C:x2=4y,直线l:x-y-2=0,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点,当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程.

解析

联立得

消去y,整理得x2-4x+8=0,Δ=(-4)2-4×8×1=-16b>0)中:

(1)如图①所示,若直线y=kx(k≠0)与椭圆E交于A,B两点,过A,B两点作椭圆的切线l,l,有l∥l,设其斜率为k0,则k0·k=-.

(2)如图②所示,若直线y=kx与椭圆E交于A,B两点,P为椭圆上异于A,B的点,若直线PA,PB的斜率存在,且分别为k1,k2,则k1·k2=-.

(3)如图③所示,若直线y=kx+m(k≠0且m≠0)与椭圆E交于A,B两点,P为弦AB的中点,设直线PO的斜率为k0,则k0·k=-.

[提醒]该结论常变形为:以椭圆+=1内任意一点(x0,y0)为中点的弦AB的斜率k=-·.

2.在双曲线E:-=1(a>0,b>0)中,类比上述结论有:

(1)k0·k=.

(2)k1·k2=.

(3)k0·k=.

例13

已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A、B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则椭圆E的方程为(

)

A.+=1B.+=1

C.+=1D.+=1

答案

D

解析

如图所示,设P(1,-1),则有kAB·kOP=-.

即-=kFP·kOP=×=-,即a2=2b2,故选D.

跟踪集训

13.(1)椭圆C:+=1的左,右顶点分别为A1,A2,点P在椭圆上且直线PA2的斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1的斜率的取值范围是

.

(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的直线交椭圆+=1于P,A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k.对任意k>0,求证:PA⊥PB.

结论十四

圆锥曲线中的一类定值问题

在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点P(非顶点)与曲线上的两动点A,B满足直线PA与PB的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线AB的斜率为定值.

图示

条件

结论

已知椭圆+=1(a>b>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在椭圆上,A,B是椭圆上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0

直线AB的斜率kAB为定值

已知双曲线-=1(a,b>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在双曲线上,A,B是双曲线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0

直线AB的斜率kAB为定值-

已知抛物线y2=2px(p>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在抛物线上,A,B是抛物线上两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0

直线AB的斜率kAB为定值-

例14

已知抛物线C:y2=2x,定点P(8,4)在抛物线上,设A,B是抛物线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0.证明:直线AB的斜率kAB为定值,并求出该定值.

解析

设A(x1,y1),B(x2,y2),kPA=k(k≠0),则kPB=-k,直线PA的方程为y-4=k(x-8),得y=kx+4-8k,联立得消y,得k2x2+(8k-16k2-2)x+(4-8k)2=0,8x1=,得x1=,同理可得x2=,则x2-x1=-==,x1+x2=×2=,因为y1=kx1+4-8k,y2=-kx2+4+8k,故y2-y1=-k(x1+x2)+16k=-k·+16k=,故kAB===-,所以直线AB的斜率kAB为定值,且为-.

跟踪集训

14.已知椭圆C:+=1,A为椭圆上的定点且坐标为,E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数.证明:直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.

结论十五

圆锥曲线中的一类定点问题

若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.

(1)对于椭圆+=1(a>b>0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线lAB过定点.同理,当以AB为直径的圆过左顶点(-a,0)时,直线lAB过定点.

(2)对于双曲线-=1(a>0,b>0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线lAB过定点.同理,对于左顶点(-a,0),则定点为.

(3)对于抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两动点A,B,若·=0,则弦AB所在直线过点(2p,0).同理,抛物线x2=2py(p>0)上异于顶点的两动点A,B,若⊥,则直线AB过定点(0,2p).

例15

已知抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两动点A,B满足以AB为直径的圆过顶点.

求证:AB所在的直线过定点,并求出该定点的坐标.

解析

由题意知lAB的斜率不为0(否则只有一个交点),故可设lAB:x=ty+m,A(x1,y1),B(x2,y2),联立得消x,得y2-2pty-2pm=0,从而Δ=(-2pt)2-4×(-2pm)×1=4p2t2+8pm>0,pt2+2m>0,①

因为以AB为直径的圆过顶点O(0,0),所以·=0,即x1x2+y1y2=0,也即(ty1+m)(ty2+m)+y1y2=0,把①代入化简得m(m-2p)=0,得m=0或m=2p.

当m=0时,x=ty,lAB过顶点O(0,0),与题意不符,故舍去;

当m=2p时,x=ty+2p,令y=0,得x=2p,所以lAB过定点(2p,0),此时m=2p满足pt2+2m>0.

综上,lAB过定点(2p,0).

跟踪集训

15.已知椭圆+=1,直线l:y=kx+m与椭圆交于A,B两点(A,B不是左、右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点.求证:直线l过定点,并求该定点的坐标.

结论十六

抛物线中的三类直线与圆相切问题

AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦(焦点弦),过A,B分别作准线l:x=-的垂线,垂足分别为A1,B1,E为A1B1的中点.

(1)如图①所示,以AB为直径的圆与准线l相切于点E.

(2)如图②所示,以A1B1为直径的圆与弦AB相切于点F,且|EF|2=|A1A|·|BB1|.

(3)如图③所示,以AF为直径的圆与y轴相切.

例16

过抛物线y2=2px(p>0)的对称轴上一点A(a,0)(a>0)的直线与抛物线相交于M,N两点,自M,N向直线l:x=-a作垂线,垂足分别为M1,N1.当a=时,求证:AM1⊥AN1.

证明

证法一:如图所示,当a=时,点A为抛物线的焦点,l为其准线x=-,由抛物线定义得|MA|=|MM1|,|NA|=|NN1|,所以∠MAM1=∠MM1A,∠NAN1=∠NN1A.

因为MM1∥NN1,故∠M1MA+∠N1NA=180°,所以∠MM1A+∠MAM1+∠NN1A+∠NAN1=180°,所以∠MAM1+∠NAN1=90°,即∠M1AN1=90°,故AM1⊥AN1.

证法二:依题意,可设直线MN的方程为x=my+a,M(x1,y1),N(x2,y2),则有M1(-a,y1),N1(-a,y2).由消去x,可得y2-2mpy-2ap=0,故

于是x1+x2=m(y1+y2)+2a=2m2p+2a,③

x1·x2=·==a2.④

当a=时,点A为抛物线的焦点,l为其准线x=-,此时M1,N1,由②可得y1·y2=-p2.

因为=(-p,y1),=(-p,y2),故·=0,即AM1⊥AN1.

跟踪集训

16.已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若·=0,则k=

.

答案全解全析

结论一

奇函数的最值性质

跟踪集训

1.(1)D

令g(x)=ln(-3x),x∈R,则g(-x)=ln(+3x),因为g(x)+g(-x)=ln(-3x)+ln(+3x)=ln(1+9x2-9x2)=ln

1=0,所以g(x)是定义在R上的奇函数.又lg=-lg

2,所以g(lg

2)+g=0,所以f(lg

2)+f=g(lg

2)+1+g+1=2.故选D.

(2)D

令g(x)=f(x)-c=asin

x+bx,易证g(x)是奇函数.

又g(-1)+g(1)=f(-1)-c+f(1)-

c=f(-1)+f(1)-2c,而g(-1)+g(1)=0,c为整数,∴f(-1)+f(1)=2c为偶数.

1+2=3是奇数,故不可能,选D.

结论二

函数周期性问题

跟踪集训

2.(1)D

由f(x+2)是偶函数可得f(-x+2)=f(x+2),又由f(x)是奇函数得f(-x+2)=-f(x-2),所以f(x+2)=-f(x-2),f(x+4)=-f(x),f(x+8)=f(x),故f(x)是以8为周期的周期函数,所以f(9)=f(8+1)=f(1)=1,又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,所以f(8)=f(0)=0,故f(8)+f(9)=1,故选D.

(2)C

当x>0时,有f(x)=f(x-1)-f(x-2),①

同理有f(x+1)=f(x)-f(x-1),②

①+②得f(x+1)=-f(x+2),即f(x+3)=-f(x).所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),T=6.

故f(2

014)=f(4)=-f(1)=f(-1)-f(0)=log22-0=1,故选C.

结论三

函数的对称性

跟踪集训

3.(1)答案

3

解析

因为f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(x)=f(4-x),f(-x)=f(4+x),又f(-x)=f(x),所以f(x)=f(4+x),则f(-1)=f(4-1)=f(3)=3.

(2)答案

4

解析

因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以f(x)是R上的奇函数.

f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期为4.所以f(2

017)=f(504×4+1)=f(1)=4,所以f(2

016)+

f(2

018)=-f(2

014)+f(2

014+4)=-f(2

014)+f

(2

014)=0,所以f(2

016)+f(2

017)+f(2

018)=4.

结论四

反函数的图象与性质

跟踪集训

4.C

因为2x+2x=5,所以x+2x-1=,同理x+log2(x-1)=,令t=x-1,则x=t+1,即t1是t+2t=的解,t2是t+log2t=的解,且t1=x1-1,t2=x2-1.

如图所示,t1为函数y=2t与y=-t的图象交点P的横坐标,t2为函数y=log2t与y=-t的图象交点Q的横坐标,所以P(t1,),Q(t2,log2t2),所以P,Q为对称点,且t1+t2=t1+=t1+=.所以x1+x2=t1+1+t2+1=+2=.故选C.

结论五

两个对数、指数经典不等式

跟踪集训

5.(1)B

由题意得f(x)的定义域为{x|x>-1且x≠0},所以排除选项D.

令g(x)=ln(x+1)-x,则由经典不等式ln(x+1)≤x知,g(x)≤0恒成立,故f(x)=0,即m2<4k2+3,即m2<4k2+3,①

因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),所以(x1-2,y1)·(x2-2,y2)=0,即x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2=0,即x1x2-2(x1+x2)+4+(kx1+m)(kx2+m)=0.

把①代入化简得7m2+16km+4k2=0,得m=-2k或m=-.

当m=-2k时,直线l:y=kx-2k过右顶点(2,0),与题意不符,故舍去;

当m=-时,直线l:y=kx-过定点,且满足m2<4k2+3,符合题意.

所以l:y=kx+m过定点.

结论十六

抛物线中的三类直线与圆相切问题

跟踪集训

16.答案

2

解析

如图所示,因为·=0,所以MA⊥MB,故点M在以AB为直径的圆上,又准线为x=-2,直线AB经过焦点F(2,0),所以有MF⊥AB,又kMF==-,所以kAB=2.