高三数学练习题及答案：空间向量与立体几何

一、填空题

1.判断下列各命题的真假：

①向量AB→的长度与向量BA→的长度相等;

②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反;

③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同;

④两个有公共终点的向量，一定是共线向量;

⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段.

其中假命题的个数为________.

2.已知向量AB→，AC→，BC→满足|AB→|=|AC→|+|BC→|，则下列叙述正确的是________.(写出所有正确的序号)

①AB→=AC→+BC→;

②AB→=-AC→-BC→;

③AC→与BC→同向;

④AC→与CB→同向.

3.在正方体ABCD-A1B1C1D中，向量表达式DD1→-AB→+BC→化简后的结果是________.

4.在平行六面体ABCD-A1B1C1D中，用向量AB→，AD→，AA1→来表示向量AC1的表达式为________________________________________________________________________.

5.四面体ABCD中，设M是CD的中点，则AB→+12(BD→+BC→)化简的结果是________.

6.平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，下列结论中正确的有________.(写出所有正确的序号)

①+GH→+PQ→=0;②-GH→-PQ→=0;

③+GH→-PQ→=0;④-GH→+PQ→=0.

7.如图所示，a,b是两个空间向量，则AC→与A′C′→是________向量，AB→与B′A′→是________向量.

8.在正方体ABCD-A1B1C1D中，化简向量表达式AB→+CD→+BC→+DA→的结果为________.

二、解答题

9.如图所示，已知空间四边形ABCD，连结AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简(1)AB→+BC→+CD→，(2)AB→+GD→+EC→，并标出化简结果的向量.

10.设A是△BCD所在平面外的一点，G是△BCD的重心.

求证：AG→=13(AB→+AC→+AD→).

能力提升

11.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若AC→=a，BD→=b，则AF→=______________________.

12.证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分.

参考答案

1①真命题;②假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的;③真命题;④假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反;⑤假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段.

2.④

解析由|AB→|=|AC→|+|BC→|=|AC→|+|CB→|，知C点在线段AB上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以AC→与CB→同向.

3.BD1→

解析如图所示，

∵DD1→=AA1→，DD1→-AB→=AA1→-AB→=BA1→，

BA1→+BC→=BD1→，

∴DD1→-AB→+BC→=BD1→.

4.AC1→=AB→+AD→+AA1→

解析因为AB→+AD→=AC→，AC→+AA1→=AC1→，

所以AC1→=AB→+AD→+AA1→.

5.AM→

解析如图所示，

因为12(BD→+BC→)=BM→，

所以AB→+12(BD→+BC→)

=AB→+BM→=AM→.

6.①

解析观察平行六面体ABCD—A1B1C1D1可知，向量EF→，GH→，PQ→平移后可以首尾相连，于是EF→+GH→+PQ→=0.

7.相等相反

8.0

解析在任何图形中，首尾相接的若干个向量和为零向量.

9.

解(1)AB→+BC→+CD→=AC→+CD→=AD→.

(2)∵E，F，G分别为BC，CD，DB的中点.

∴BE→=EC→，EF→=GD→.

∴AB→+GD→+EC→=AB→+BE→+EF→=AF→.

故所求向量AD→，AF→，如图所示.

10.

证明连结BG，延长后交CD于E，由G为△BCD的重心，

知BG→=23BE→.

∵E为CD的中点，

∴BE→=12BC→+12BD→.

AG→=AB→+BG→=AB→+23BE→=AB→+13(BC→+BD→)

=AB→+13[(AC→-AB→)+(AD→-AB→)]

=13(AB→+AC→+AD→).

11.23a+13b

解析AF→=AC→+CF→

=a+23CD→

=a+13(b-a)

=23a+13b.

12.证明如图所示，平行六面体ABCD—A′B′C′D′，设点O是AC′的中点，

则AO→=12AC′→

=12(AB→+AD→+AA′→).

设P、M、N分别是BD′、CA′、DB′的中点.

则AP→=AB→+BP→=AB→+12BD′→

=AB→+12(BA→+BC→+BB′→)

=AB→+12(-AB→+AD→+AA′→)

=12(AB→+AD→+AA′→).

同理可证：AM→=12(AB→+AD→+AA′→)

AN→=12(AB→+AD→+AA′→).

由此可知O，P，M，N四点重合.

故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分.