直角三角形的性质和表示方法

一、直角三角形的性质和表示方法

1、直角三角形的表示方法

直角三角形可以用符号“Rt$△$”表示，即直角三角形$ABC$可以表示为“Rt$△ABC$”。

2、直角三角形的性质

（1）直角三角形的两个锐角互余。

（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

（3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

3、解直角三角形的常用方法

在Rt$△ABC$中，$∠C=90°$，$∠A$，$∠B$，$∠C$所对的边分别是$a$，$b$，$c$。

① 三边之间的关系：$a^2+b^2=c^2$。

② 锐角之间的关系：$∠A+∠B= 90°$。

③ 边、角之间的关系：

$\sin A=\frac{a}{c}$，$\cos A=\frac{b}{c}$，$\tan A=\frac{a}{b}$。

$\sin B=\frac{b}{c}$，$\cos B=\frac{a}{c}$，$\tan B=\frac{b}{a}$。

④面积公式：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch$（$h$为斜边上的高）。

4、直角三角形的判定

判定（1）：有一个角为90°的三角形是直角三角形。

判定（2）：若$a^2+b^2=c^2$，则以$a$、$b$、$c$为边的三角形是以$c$为斜边的直角三角形（勾股定理的逆定理）。

判定（3）：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。

判定（4）：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。

判定（5）：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。那么这个三角形为直角三角形。

判定（6）：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。

二、直角三角形的性质的相关例题

已知Rt$△ABC$中，$∠ACB=90°$，$CD$是高，$∠A=30°$，$BD=$2 cm，则$AB$的长为___

A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm

答案：C

解析：$∠ACB=90°$，$∠A=30°$，∴$AB=2BC$，$∠B=60°$，又$CD$是$△ABC$的高，∴$∠BCD= 30°$。∵$BD=$2 cm，∴$BC=2BD=$4 cm，$AB=$8 cm，故选C。