狄利克雷函数的连续性 狄利克雷函数的连续性与单调性
狄利克雷函数的性质和其没有最小正周期的证明?
狄利克雷函数的性质是没有最小正周期的。狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴,是一个偶函数,它处处不连续,处处极限不存在,不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。
狄利克雷函数的连续性 狄利克雷函数的连续性与单调性
狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴,是一个偶函数,它处处不连续,处处极限不存在,不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。
在数论方面,他是高斯思想的传播者和拓广者。1833年狄里克雷撰写了《数论讲义》,对高斯划时代的著作《算术研究》作了明晰的解释并有创见,使高斯的思想得以广泛传播。1837年,他构造了狄里克雷级数。
1838~1839年,他得到确定二次型类数的公式。1846年,使用抽屉原理。阐明代数数域中单位数的阿贝尔群的结构。
狄利克雷函数是连续的吗,或如何证明其不连续?
不用证明,狄利克雷函数(英语:dirichlet function)是一个定义在实数范围上、值域为不连续的函数。
狄里克雷(1805~1859)Dirichlet,Peter Gustav Lejeune德国数学家。对数论、数学分析和数学物理有突出贡献,是解析数论的创始人之一。1805年2月13日生于迪伦,1859年5月5日卒于格丁根。
中学时曾受教于物理学家G.S.欧姆;1822~1826年在巴黎求学,深受J.-B.-J.傅里叶的影响 。回国后先后在布雷斯劳大学、柏林军事学院和柏林大学任教27年,对德国数学发展产生巨大影响。1839年任柏林大学教授,1855年接任C.F.高斯在哥廷根大学的教授职位。
在分析学方面,他是最早倡导严格化方法的数学家之一。1837年他提出函数是x与y之间的一种对应关系的现代观点。
在数论方面,他是高斯思想的传播者和拓广者。1833年狄里克莱撰写了《数论讲义》,对高斯划时代的著作《算术研究》作了明晰的解释并有创见,使高斯的思想得以广泛传播。
1837年,他构造了狄里克雷级数。1838~1839年,他得到确定二次型类数的公式。1846年,使用抽屉原理。阐明代数数域中单位数的阿贝尔群的结构。
在数学物理方面,他对椭球体产生的引力、球在不可压缩流体中的运动、由太阳系稳定性导出的一般稳定性等课题都有重要论著。1850年发表了有关位势理论的文章,论及著名的第一边界值问题,现称狄里克雷问题。
狄利克雷函数为什么是处处不连续的?
实数的确连续。但任意两个相差无限小的无理数之间都有无限个有理数,而由狄利克雷函数定义,在这两个无理数之间,其值在0和1之间跳跃无限次,显然不连续。事实上,不但不连续,其图形也无法做出。
狄利克雷函数是否几乎处处连续?
连续如下:
不是处处连续。狄利克雷函数的跳动不是一般的函数波动,而是捉摸不到的、极其迅速的跳变。因此狄利克雷函数是极度不连续的。
所以,狄利克雷函数的一个重要特点就是:无法作图。你可以试着把x轴上的有理数和无理数进行分离,属于有理数的点上升一个单位,属于无理数的点停留在原处。当然,这只能存在于想象中,图形无法表示。
简介:
函数(function)的定义通常分为传统定义和近代定义,函数的两个定义本质是相同的,只是叙述概念的出发点不同,传统定义是从运动变化的观点出发,而近代定义是从集合、映射的观点出发。
函数的近代定义是给定一个数集A,假设其中的元素为x,对A中的元素x施加对应法则f,记作f(x),得到另一数集B,假设B中的元素为y,则y与x之间的等量关系可以用y=f(x)表示,函数概念含有三个要素:定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f,它是函数关系的本质特征。
讨论 f(x)=xD(x)的连续性,其中D(x)为狄利克雷函数。
(1)当x=0时,f(x)=0,在R上是连续的;
(2)当x不等于0时。
若x为有理数,则f(x)=x,若x是无理数,则f(x)=0。
从而由极限定义易得,f(x)在x处无极限,从而不连续。