初三数学试卷及答案

一．选择题

1．﹣22=（）

A．﹣2B．﹣4C．2D．4

【分析】根据幂的乘方的运算法则求解．

【解答】解：﹣22=﹣4，

故选B．

【点评】本题考查了幂的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方的运算法则．

2．太阳与地球的平均距离大约是150000000千米，数据150000000用科学记数法表示为（）

A．1.5×108B．1.5×109C．0.15×109D．15×107

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：将150000000用科学记数法表示为：1.5×108．

故选A．

【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则（）

A．B．C．D．

【分析】根据题意得出△ADE∽△ABC，进而利用已知得出对应边的比值．

【解答】解：∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∵BD=2AD，

∴===，

则=，

∴A，C，D选项错误，B选项正确，

故选：B．

【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确得出对应边的比是解题关键．

4．|1+|+|1﹣|=（）

A．1B．C．2D．2

【分析】根据绝对值的性质，可得答案．

【解答】解：原式1++﹣1=2，

故选：D．

【点评】本题考查了实数的性质，利用差的绝对值是大数减小数是解题关键．

5．设x，y，c是实数，（）

A．若x=y，则x+c=y﹣cB．若x=y，则xc=yc

C．若x=y，则D．若，则2x=3y

【分析】根据等式的性质，可得答案．

【解答】解：A、两边加不同的数，故A不符合题意；

B、两边都乘以c，故B符合题意；

C、c=0时，两边都除以c无意义，故C不符合题意；

D、两边乘以不同的数，故D不符合题意；

故选：B．

【点评】本题考查了等式的性质，熟记等式的性质并根据等式的性质求解是解题关．

6．若x+5＞0，则（）

A．x+1＜0B．x﹣1＜0C．＜﹣1D．﹣2x＜12

【分析】求出已知不等式的解集，再求出每个选项中不等式的解集，即得出选项．

【解答】解：∵x+5＞0，

∴x＞﹣5，

A、根据x+1＜0得出x＜﹣1，故本选项不符合题意；

B、根据x﹣1＜0得出x＜1，故本选项不符合题意；

C、根据＜﹣1得出x＜5，故本选项符合题意；

D、根据﹣2x＜12得出x＞﹣6，故本选项不符合题意；

故选C．

【点评】本题考查了不等式的性质，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键．

7．某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014年为10.8万人次，2016年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，则（）

A．10.8（1+x）=16.8B．16.8（1﹣x）=10.8

C．10.8（1+x）2=16.8D．10.8[（1+x）+（1+x）2]=16.8

【分析】设参观人次的平均年增长率为x，根据题意可得等量关系：10.8万人次×（1+增长率）2=16.8万人次，根据等量关系列出方程即可．

【解答】解：设参观人次的平均年增长率为x，由题意得：

10.8（1+x）2=16.8，

故选：C．

【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．

8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1．把△ABC分别绕直线AB和BC旋转一周，所得几何体的地面圆的周长分别记作l1，l2，侧面积分别记作S1，S2，则（）

A．l1：l2=1：2，S1：S2=1：2B．l1：l2=1：4，S1：S2=1：2

C．l1：l2=1：2，S1：S2=1：4D．l1：l2=1：4，S1：S2=1：4

【分析】根据圆的周长分别计算l1，l2，再由扇形的面积公式计算S1，S2，求比值即可．

【解答】解：∵l1=2π×BC=2π，

l2=2π×AB=4π，

∴l1：l2=1：2，

∵S1=×2π×=π，

S2=×4π×=2π，

∴S1：S2=1：2，

故选A．

【点评】本题考查了圆锥的计算，主要利用了圆的周长为2πr，侧面积=lr求解是解题的关键．

9．设直线x=1是函数y=ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，（）

A．若m＞1，则（m﹣1）a+b＞0B．若m＞1，则（m﹣1）a+b＜0

C．若m＜1，则（m﹣1）a+b＞0D．若m＜1，则（m﹣1）a+b＜0

【分析】根据对称轴，可得b=﹣2a，根据有理数的乘法，可得答案．

【解答】解：由对称轴，得

b=﹣2a．

（m﹣1）a+b=ma﹣a﹣2a=（m﹣3）a

当m＜1时，（m﹣3）a＞0，

故选：C．

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用对称轴得出b=﹣2a是解题关键．

10．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD=x，tan∠ACB=y，则（）

A．x﹣y2=3B．2x﹣y2=9C．3x﹣y2=15D．4x﹣y2=21

【分析】过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，根据线段垂直平分线求出DE=BD=x，根据等腰三角形求出BD=DC=6，求出CM=DM=3，解直角三角形求出EM=3y，AQ=6y，在Rt△DEM中，根据勾股定理求出即可．

【解答】解：

过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，

∵BE的垂直平分线交BC于D，BD=x，

∴BD=DE=x，

∵AB=AC，BC=12，tan∠ACB=y，

∴==y，BQ=CQ=6，

∴AQ=6y，

∵AQ⊥BC，EM⊥BC，

∴AQ∥EM，

∵E为AC中点，

∴CM=QM=CQ=3，

∴EM=3y，

∴DM=12﹣3﹣x=9﹣x，

在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2=（3y）2+（9﹣x）2，

即2x﹣y2=9，

故选B．

【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键．

二．填空题

11．数据2，2，3，4，5的中位数是3．

【分析】根据中位数的定义即中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，即可求出答案．

【解答】解：从小到大排列为：2，2，3，4，5，

位于最中间的数是3，

则这组数的中位数是3．

故答案为：3．

【点评】本题考查了中位数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．

12．如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT=40°，则∠ATB=50°．

【分析】根据切线的性质即可求出答案．

【解答】解：∵AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，

∴∠BAT=90°，

∵∠ABT=40°，

∴∠ATB=50°，

故答案为：50°

【点评】本题考查切线的性质，解题的关键是根据切线的性质求出∠ATB=90°，本题属于基础题型．

13．一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球（只有颜色不同），其中2个是红球，1个是白球，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出都是红球的概率是．

【分析】根据题意画出相应的树状图，找出所有可能的情况个数，进而找出两次都是红球的情况个数，即可求出所求的概率大小．

【解答】解：根据题意画出相应的树状图，

所以一共有9种情况，两次摸到红球的有4种情况，

∴两次摸出都是红球的概率是，

故答案为：．

【点评】此题考查了列表法与树状图，根据题意画出相应的树状图是解本题的关键．

14．若|m|=，则m=3或﹣1．

【分析】利用绝对值和分式的性质可得m﹣1≠0，m﹣3=0或|m|=1，可得m．

【解答】解：由题意得，

m﹣1≠0，

则m≠1，

（m﹣3）|m|=m﹣3，

∴（m﹣3）（|m|﹣1）=0，

∴m=3或m=±1，

∵m≠1，

∴m=3或m=﹣1，

故答案为：3或﹣1．

【点评】本题主要考查了绝对值和分式的性质，熟记分式分母不为0是解答此题的关键．

15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，点D在边AC上，AD=5，DE⊥BC于点E，连结AE，则△ABE的面积等于78．

【分析】由勾股定理求出BC==25，求出△ABC的面积=150，证明△CDE∽△CBA，得出，求出CE=12，得出BE=BC﹣CE=13，再由三角形的面积关系即可得出答案．

【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，

∴BC==25，△ABC的面积=ABAC=×15×20=150，

∵AD=5，

∴CD=AC﹣AD=15，

∵DE⊥BC，

∴∠DEC=∠BAC=90°，

又∵∠C=∠C，

∴△CDE∽△CBA，

∴，即，

解得：CE=12，

∴BE=BC﹣CE=13，

∵△ABE的面积：△ABC的面积=BE：BC=13：25，

∴△ABE的面积=×150=78；

故答案为：78．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积；熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解决问题的关键

16．某水果点销售50千克香蕉，第一天售价为9元/千克，第二天降价6元/千克，第三天再降为3元/千克．三天全部售完，共计所得270元．若该店第二天销售香蕉t千克，则第三天销售香蕉30﹣千克．千克，根据三天的销售额为270元列出方程，求出x即可．

【解答】解：设第三天销售香蕉x千克，则第一天销售香蕉（50﹣t﹣x）千克，

根据题意，得：9（50﹣t﹣x）+6t+3x=270，

则x==30﹣，

故答案为：30﹣．

【点评】本题主要考查列代数式的能力，解题的关键是理解题意，抓住相等关系列出方程，从而表示出第三天销售香蕉的千克数．

三．解答题

17．为了了解某校九年级学生的跳高水平，随机抽取该年级50名学生进行跳高测试，并把测试成绩绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．

某校九年级50名学生跳高测试成绩的频数表

组别（m）频数

1.09～1.198

1.19～1.2912

1.29～1.39A

1.39～1.4910

（1）求a的值，并把频数直方图补充完整；

（2）该年级共有500名学生，估计该年级学生跳高成绩在1.29m（含1.29m）以上的人数．

【分析】（1）利用总人数50减去其它组的人数即可求得a的值；

（2）利用总人数乘以对应的比例即可求解．

【解答】解：（1）a=50﹣8﹣12﹣10=20，

；

（2）该年级学生跳高成绩在1.29m（含1.29m）以上的人数是：500×=300（人）．

【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了样本估计总体．

18．在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k，b都是常数，且k≠0）的图象经过点（1，0）和（0，2）．

（1）当﹣2＜x≤3时，求y的取值范围；

（2）已知点P（m，n）在该函数的图象上，且m﹣n=4，求点P的坐标．

【分析】利用待定系数法求一次函数解析式得出即可；

（1）利用一次函数增减性得出即可．

（2）根据题意得出n=﹣2m+2，联立方程，解方程即可求得．

【解答】解：设解析式为：y=kx+b，

将（1，0），（0，﹣2）代入得：，

解得：，

∴这个函数的解析式为：y=﹣2x+2；

（1）把x=﹣2代入y=﹣2x+2得，y=6，

把x=3代入y=﹣2x+2得，y=﹣4，

∴y的取值范围是﹣4≤y＜6．

（2）∵点P（m，n）在该函数的图象上，

∴n=﹣2m+2，

∵m﹣n=4，

∴m﹣（﹣2m+2）=4，

解得m=2，n=﹣2，

∴点P的坐标为（2，﹣2）．

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，求得解析式上解题的关键．

19．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．

（1）求证：△ADE∽△ABC；

（2）若AD=3，AB=5，求的值．

【分析】（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°，从而可证明∠AED=∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC；

（2）△ADE∽△ABC，，又易证△EAF∽△CAG，所以，从而可知．

【解答】解：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，

∴∠AFE=∠AGC=90°，

∵∠EAF=∠GAC，

∴∠AED=∠ACB，

∵∠EAD=∠BAC，

∴△ADE∽△ABC，

（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，

∴=

由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，

∴∠EAF=∠GAC，

∴△EAF∽△CAG，

∴，

∴=

【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于中等题型．

20．在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3．

（1）设矩形的相邻两边长分别为x，y．

①求y关于x的函数表达式；

②当y≥3时，求x的取值范围；

（2）圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗 为什么

【分析】（1）①直接利用矩形面积求法进而得出y与x之间的关系；②直接利用y≥3得出x的取值范围；

（2）直接利用x+y的值结合根的判别式得出答案．

【解答】解：（1）①由题意可得：xy=3，

则y=；

②当y≥3时，≥3

解得：x≤1；

（2）∵一个矩形的周长为6，

∴x+y=3，

∴x+=3，

整理得：x2﹣3x+3=0，

∵b2﹣4ac=9﹣12=﹣3＜0，

∴矩形的周长不可能是6；

∵一个矩形的周长为10，

∴x+y=5，

∴x+=5，

整理得：x2﹣5x+3=0，

∵b2﹣4ac=25﹣12=13＞0，

∴矩形的周长可能是10．

【点评】此题主要考查了反比例函数的应用以及一元二次方程的解法，正确得出y与x之间的关系是解题关键．

21．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．

（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；

（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．

【分析】（1）结论：AG2=GE2+GF2．只要证明GA=GC，四边形EGFC是矩形，推出GE=CF，在Rt△GFC中，利用勾股定理即可证明；

（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x．易证AM=BM=2x，MN=x，在Rt△ABN中，根据AB2=AN2+BN2，可得1=x2+（2x+x）2，

解得x=，推出BN=，再根据BG=BN÷cos30°即可解决问题；

【解答】解：（1）结论：AG2=GE2+GF2．

理由：连接CG．

∵四边形ABCD是正方形，

∴A、C关于对角线BD对称，

∵点G在BD上，

∴GA=GC，

∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，

∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，

∴四边形EGFC是矩形，

∴CF=GE，

在Rt△GFC中，∵CG2=GF2+CF2，

∴AG2=GF2+GE2．

（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x．

∵∠AGF=105°，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°，

∴∠AGB=60°，∠GBN=30°，∠ABM=∠MAB=15°，

∴∠AMN=30°，

∴AM=BM=2x，MN=x，

在Rt△ABN中，∵AB2=AN2+BN2，

∴1=x2+（2x+x）2，

解得x=，

∴BN=，

∴BG=BN÷cos30°=．

【点评】本题考查正方形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理直角三角形30度的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．

22．在平面直角坐标系中，设二次函数y1=（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．

（1）若函数y1的图象经过点（1，﹣2），求函数y1的表达式；

（2）若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；

（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．

【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得答案

（3）根据二次函数的性质，可得答案．

【解答】解：（1）函数y1的图象经过点（1，﹣2），得

（a+1）（﹣a）=﹣2，

解得a=﹣2，a=1，

函数y1的表达式y=（x﹣2）（x+2﹣1），化简，得y=x2﹣x﹣2；

函数y1的表达式y=（x+1）（x﹣2）化简，得y=x2﹣x﹣2，

综上所述：函数y1的表达式y=x2﹣x﹣2；

（2）当y=0时x2﹣x﹣2=0，解得x1=﹣1，x2=2，

y1的图象与x轴的交点是（﹣1，0）（2，0），

当y2=ax+b经过（﹣1，0）时，﹣a+b=0，即a=b；

当y2=ax+b经过（2，0）时，2a+b=0，即b=﹣2a；

（3）当P在对称轴的左侧时，y随x的增大而增大，

（1，n）与（0，n）关于对称轴对称，

由m＜n，得x0＜0；

当时P在对称轴的右侧时，y随x的增大而减小，

由m＜n，得x0＞1，

综上所述：m＜n，求x0的取值范围x0＜0或x0＞1．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解（1）的关键是利用待定系数法；解（2）的关键是把点的坐标代入函数解析式；解（3）的关键是利用二次函数的性质，要分类讨论，以防遗漏．

23．如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G，设∠GAB=ɑ，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ，

（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：

ɑ30°40°50°60°

β120°130°140°150°

γ150°140°130°120°

猜想：β关于ɑ的函数表达式，γ关于ɑ的函数表达式，并给出证明：

（2）若γ=135°，CD=3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．

【分析】（1）由圆周角定理即可得出β=α+90°，然后根据D是BC的中点，DE⊥BC，可知∠EDC=90°，由三角形外角的性质即可得出∠CED=α，从而可知O、A、E、B四点共圆，由圆内接四边形的性质可知：∠EBO+∠EAG=180°，即γ=﹣α+180°；

（2）由（1）及γ=135°可知∠BOA=90°，∠BCE=45°，∠BEC=90°，由于△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，所以，根据勾股定理即可求出AE、AC的长度，从而可求出AB的长度，再由勾股定理即可求出⊙O的半径r；

【解答】解：（1）猜想：β=α+90°，γ=﹣α+180°

连接OB，

∴由圆周角定理可知：2∠BCA=360°﹣∠BOA，

∵OB=OA，

∴∠OBA=∠OAB=α，

∴∠BOA=180°﹣2α，

∴2β=360°﹣（180°﹣2α），

∴β=α+90°，

∵D是BC的中点，DE⊥BC，

∴OE是线段BC的垂直平分线，

∴BE=CE，∠BED=∠CED，∠EDC=90°

∵∠BCA=∠EDC+∠CED，

∴β=90°+∠CED，

∴∠CED=α，

∴∠CED=∠OBA=α，

∴O、A、E、B四点共圆，

∴∠EBO+∠EAG=180°，

∴∠EBA+∠OBA+∠EAG=180°，

∴γ+α=180°；

（2）当γ=135°时，此时图形如图所示，

∴α=45°，β=135°，

∴∠BOA=90°，∠BCE=45°，

由（1）可知：O、A、E、B四点共圆，

∴∠BEC=90°，

∵△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，

∴，

∴，

设CE=3x，AC=x，

由（1）可知：BC=2CD=6，

∵∠BCE=45°，

∴CE=BE=3x，

∴由勾股定理可知：（3x）2+（3x）2=62，

x=，

∴BE=CE=3，AC=，

∴AE=AC+CE=4，

在Rt△ABE中，

由勾股定理可知：AB2=（3）2+（4）2，

∴AB=5，

∵∠BAO=45°，

∴∠AOB=90°，

在Rt△AOB中，设半径为r，

由勾股定理可知：AB2=2r2，

∴r=5，

∴⊙O半径的长为5．

【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，勾股定理，解方程，垂直平分线的性质等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．