常用泰勒展开式

高中数学泰勒展开式如何应用？

超模君先说一下泰勒公式怎么来的，再简单讲讲它的现实应用。

泰勒公式根据牛顿逼近法就可以得到从1阶一直可以推导到N阶：假设f1(x)=f(x)-f(a)由牛顿逼近法有f1(x)=f'(a)(x-a)+o(x-a)^2所以f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+o(x-a)^2同理，假设 f2(x)=f(x)-f(a)-f'(x)(x-a)两边求导,f2'(x)=f，(x)-f，(x)-f"(x)(x-a)=-f"(a)(x-a)再求不定积分f2(x)=-(1/2)f"(a)(x-a)^2+C,C就是那个高阶无穷小(需要证明）所以f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f"(a)(x-a)A2+o(x-a)^3依次类推，最后就有了泰勒公式。

另一种证明过程，先写出来g(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+.+an(x-a)^n，然后从等式序列，g(a)=f(a),g'(a)=f'(a),g…"(a)=f…"(a).就得到所有的a0-an的泰勒展示系数了。

泰勒级数展开函数，能做什么？对于特定的x取值，可以求它附近的函数。

y=xA100展开以后可以求x=1附近的0.9999的100次方等于多少。

计算过程和结果不但更直观，而且可以通过舍弃一些高阶项的方法来避免不必要的精度计算，简化了计算，节省了计算时间(如果是计算机计算复杂数字的话)。

在图像处理的计算机软件中，经常要用到开方和幂次计算，而QuakeIII的源代码中就对于此类的计算做了优化，采用泰勒技术展开和保留基本项的办法，比纯粹的此类运算快了4倍以上。

对于曲线交点的问题，用方程求解的办法有时候找不到答案，方程太复杂解不出来，那么用泰勒级数的办法求这个交点，那么交点的精度要提高，相当于泰勒级数的保留项要增加，而这个过程对应于牛顿--莱布尼茨的迭代过程，曲线交点的解在精度要求确定的情况下，有了被求出的可能。

泰勒技术用来求解高方程问题，是一种通用的方法，而不是像中学时代那样一种问题一种解决办法，高等数学之所以成为"高等"，就是它足够抽象，抽象到外延无穷大。

泰勒展开式在高考数学压轴题中或多或少的出现，例如：15年福建卷理20题14年全国卷新课标I理21题13年全国卷新课标II理21题11年全国卷新课标II文导数题除此之外还在各地模考题出现过，下面简单介绍泰勒展开式的应用。

泰勒展开主要应用在在证明恒成立问题时将较为复杂函数转化为简单函数,下面是几个常见展开以及由此而来的不等式：