兀是无理数还是有理数怎么证明

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π是无理数。因为,根据有理数的定义:有理数是一个整数a和一个正整数b的比,例如3/8,通则为a/b。有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。而π=3.1415926…是无限不循环小数,不在有理数的范围。证明过程假设π是有理数,则π=a/

π是无理数。因为,根据有理数的定义:有理数是一个整数a和一个正整数b的比,例如3/8,通则为a/b。有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。而π=3.1415926...是无限不循环小数,不在有理数的范围。

证明过程

假设π是有理数,则π=a/b,(a,b为自然数)

令f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!)

若0<x<a/b,则

0<f(x)<(π^n)(a^n)/(n!)

0<sinx<1

以上两式相乘得:

0<f(x)sinx<(π^n)(a^n)/(n!)

当n充分大时,在[0,π]区间上的积分有

0<∫f(x)sinxdx <[π^(n+1)](a^n)/(n!)<1 …………(1)

又令:F(x)=f(x)-f"(x)+[f(x)]^(4)-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n),(表示偶数阶导数)

由于n!f(x)是x的整系数多项式,且各项的次数都不小于n,故f(x)及其各阶导数在x=0点处的值也都是整数,因此,F(x)和F(π)也都是整数。

又因为

d[F'(x)sinx-F(x)conx]/dx

=F"(x)sinx+F'(x)cosx-F'(x)cosx+F(x)sinx

=F"(x)sinx+F(x)sinx

=f(x)sinx

所以有:

∫f(x)sinxdx=[F'(x)sinx-F(x)cosx],(此处上限为π,下限为0)

=F(π)+F(0)

上式表示∫f(x)sinxdx在[0,π]区间上的积分为整数,这与(1)式矛盾。所以π不是有理数,又它是实数,故π是无理数。

圆周率

圆周率是表示圆的周长与直径比值的数学常数,用希腊字母π表示。π也等于圆形之面积与半径平方之比,近似值约等于3.14159265359,是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值,在分析学里,π可以严格地定义为满足sinx=0的最小正实数x。

自言君心半城书 2021-06-30 10:55:58

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