江苏高考数学复习数列推理与证明第35课等比数列及其前n项和课时分层训练

江苏高考数学复习数列推理与证明第35课等比数列及其前n项和课时分层训练本文简介：第七章数列、推理与证明第35课等比数列及其前n项和课时分层训练A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1．若三个正数a，b，c成等比数列，其中a＝5＋2，c＝5－2，则b＝________.【导学号：62172192】1[∵a，b，c成等比数列，∴b2＝a·c＝(5＋2)(5－2)＝1.又b>0

江苏高考数学复习数列推理与证明第35课等比数列及其前n项和课时分层训练本文内容：

第七章

数列、推理与证明

第35课

等比数列及其前n项和课时分层训练

A组

基础达标

(建议用时：30分钟)

一、填空题

1．若三个正数a，b，c成等比数列，其中a＝5＋2，c＝5－2，则b＝________.

【导学号：62172192】

1

[∵a，b，c成等比数列，∴b2＝a·c＝(5＋2)(5－2)＝1.又b>0，∴b＝1.]

2．(2017·苏州模拟)等比数列{an}的公比大于1，a5－a1＝15，a4－a2＝6，则a3＝____________.

4

[由得

得2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝(舍去)，

把q＝2代入①得a1＝1.

∴a3＝q2＝4.]

3．在等比数列{an}中，Sn表示前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q等于____________．

3

[两式相减得a4－a3＝2a3，从而求得＝3，即q＝3.]

4．数列{an}满足：an＋1＝λan－1(n∈N＋，λ∈R且λ≠0)，若数列{an－1}是等比数列，则λ的值等于____________．

2

[由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λ.由于数列{an－1}是等比数列，所以＝1，得λ＝2.]

5．设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝____________.

3n－1

[因为3S1,2S2，S3成等差数列，所以4S2＝3S1＋S3，即4(a1＋a2)＝3a1＋a1＋a2＋a3.化简，得＝3，即等比数列{an}的公比q＝3，故an＝1×3n－1

＝3n－1.]

6．在各项均为正数的等比数列{an}中，若am＋1·am－1＝2am(m≥2)，数列{an}的前n项积为Tn，若T2m－1＝512，则m的值为____________.

【导学号：62172193】

5

[由等比数列的性质可知am＋1·am－1＝a＝2am(m≥2)，所以am＝2，即数列{an}为常数列，an＝2，所以T2m－1＝22m－1＝512＝29，即2m－1＝9，所以m＝5.]

7．(2016·常州期末)已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1＋a2＝，a3＋a4＋a5＋a6＝40，则的值为________．

117

[∵{an}是等比数列，设公比为q，则

a3＋a4＝(a1＋a2)q2，

a5＋a6＝(a1＋a2)q4，

∴a3＋a4＋a5＋a6＝(a1＋a2)(q2＋q4)＝40，

即(q2＋q4)＝40，解得q2＝9.

又q>0，∴q＝3，

由a1＋a2＝得a1＝，

∴＝＝＝117.]

8．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1.若a1＝1，则对任意的n∈N＋，都有an＋2＋an＋1－2an＝0，则S5＝____________.

11

[∵{an}是等比数列，

∴an＋2＋an＋1－2an＝an(q2＋q－2)＝0，

又an≠0，故q2＋q－2＝0，即q＝－2或q＝1(舍去)，

∴S5＝＝＝11.]

9．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝____________.

14

[由＝(q3)3＝3得q3＝，

∴an－1anan＋1＝(a1a2a3)q3n－6＝4×n－2

由4×n－2＝324，得＝4，即n＝14.]

10．(2016·浙江高考)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N＋，则a1＝________，S5＝________.

1

121

[∵an＋1＝2Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，

∴Sn＋1＝3Sn＋1，∴Sn＋1＋＝3，

∴数列是公比为3的等比数列，

∴＝3.

又S2＝4，∴S1＝1，∴a1＝1，

∴S5＋＝×34＝×34＝，

∴S5＝121.]

二、解答题

11．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.

【导学号：62172194】

[解]

(1)∵S1＝a1＝1，

且数列{Sn}是以2为公比的等比数列，

∴Sn＝2n－1，

又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－2n－2＝2n－2.

当n＝1时a1＝1，不适合上式．

∴an＝

(2)a3，a5，…，a2n＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列，

∴a3＋a5＋…＋a2n＋1＝＝.

∴a1＋a3＋…＋a2n＋1＝1＋＝.

12．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝4an－3(n∈N＋)．

(1)证明：数列{an}是等比数列；

(2)若数列{bn}满足bn＋1＝an＋bn(n∈N＋)，且b1＝2，求数列{bn}的通项公式．

[解]

(1)证明：依题意Sn＝4an－3(n∈N＋)，

n＝1时，a1＝4a1－3，解得a1＝1.

因为Sn＝4an－3，则Sn－1＝4an－1－3(n≥2)，

所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1，

整理得an＝an－1.

又a1＝1≠0，所以{an}是首项为1，公比为的等比数列．

(2)由(1)知an＝n－1，

由bn＋1＝an＋bn(n∈N＋)，

得bn＋1－bn＝n－1.

可得bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)

＝2＋

＝3·n－1－1(n≥2)．

当n＝1时也满足，

所以数列{bn}的通项公式为bn＝3·n－1－1(n∈N＋)．

B组

能力提升

(建议用时：15分钟)

1．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．”如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和，则Sn＝__________尺．

2n－＋1

[依题意大老鼠每天打洞的距离构成以1为首项，2为公比的等比数列，所以前n天大老鼠打洞的距离共为＝2n－1.同理可得前n天小老鼠打洞的距离共为＝2－，所以Sn＝2n－1＋2－＝2n－＋1.]

2．(2017·南京一模)设Sn是等比数列{an}的前n项和，an>0，若S6－2S3＝5，则S9－S6的最小值为________．

20

[设等比数列的公比为q，则q>0且q≠1.

由S6－2S3＝5可知，

－＝5，

∴＝5，∴q>1.

则S9－S6＝－

＝＝

＝5＋10

≥5×2＋10

＝20，

当且仅当q3＝2，即q＝时取等号．

∴S9－S6的最小值为20.]

3．已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．

(1)求证：{an＋1＋2an}是等比数列；

(2)求数列{an}的通项公式．

[解]

(1)证明：∵an＋1＝an＋6an－1(n≥2)，

∴an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2)．

∵a1＝5，a2＝5，

∴a2＋2a1＝15，

∴an＋2an－1≠0(n≥2)，

∴＝3(n≥2)，

∴数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列．

(2)由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n，

则an＋1＝－2an＋5×3n，

∴an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)．

又∵a1－3＝2，∴an－3n≠0，

∴{an－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列．

∴an－3n＝2×(－2)n－1，

即an＝2×(－2)n－1＋3n.

4．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且3an＋1＋2Sn＝3(n为正整数)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)对任意正整数n，是否存在k∈R，使得k≤Sn恒成立？若存在，求实数k的最大值；若不存在，请说明理由．

[解]

(1)因为3an＋1＋2Sn＝3，①

所以n≥2时，3an＋2Sn－1＝3，②

由①－②得3an＋1－3an＋2an＝0，所以an＋1＝an(n≥2)．

又a1＝1,3a2＋2a1＝3，得a2＝，所以a2＝a1，故数列{an}是首项为1，公比q＝的等比数列，

所以an＝a1·qn－1＝n－1.

(2)假设存在满足题设条件的实数k，使得k≤Sn恒成立．

由(1)知Sn＝＝＝，

由题意知，对任意正整数n恒有k≤，

又数列单调递增，所以当n＝1时数列中的最小项为，则必有k≤1，即实数k最大值为1.