广东高考理科数学(精美版)逐题详解
2013年广东高考理科数学(精美版)逐题详解本文简介:2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)逐题详解【详解提供】广东佛山市南海区南海中学钱耀周参考公式:台体的体积公式,其中分别是台体的上、下底面积,表示台体的高.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合,,则(
2013年广东高考理科数学(精美版)逐题详解本文内容:
2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(理科)逐题详解
【详解提供】广东佛山市南海区南海中学
钱耀周
参考公式:台体的体积公式,其中分别是台体的上、下底面积,表示台体的高.
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,,则(
)
A
.
B.
C.
D.
【解析】D;易得,,所以,故选D.
2.定义域为的四个函数,,,中,奇函数的个数是(
)
A
.
B.
C.
D.
【解析】C;考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为与,故选C.
3.若复数满足,则在复平面内,对应的点的坐标是(
)
A
.
B.
C.
D.
【解析】C;对应的点的坐标是,故选C.
4.已知离散型随机变量的分布列为
正视图
俯视图
侧视图
第5题图
则的数学期望
(
)
A
.
B.
C.
D.
【解析】A;,故选A.
5.某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是
(
)
A
.
B.
C.
D.
【解析】B;由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为
和的正方形,高为,故,,故选B.
6.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是(
)
A
.
若,,,则
B.若,,,则
C.若,,,则
D.若,,,则
【解析】D;ABC是典型错误命题,选D.
7.已知中心在原点的双曲线的右焦点为,离心率等于,在双曲线的方程是
(
)
A
.
B.
C.
D.
【解析】B;依题意,,所以,从而,,故选B.
8.设整数,集合.令集合
若和都在中,则下列选项正确的是(
)
A
.,B.,C.,D.,【解析】B;特殊值法,不妨令,,则,,故选B.如果利用直接法:因为,,所以…①,…②,…③三个式子中恰有一个成立;…④,…⑤,…⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况:第一种:①⑤成立,此时,于是,;第二种:①⑥成立,此时,于是,;第三种:②④成立,此时,于是,;第四种:③④成立,此时,于是,.综合上述四种情况,可得,.
二、填空题:本题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,共30分
是
否
输入
输出
结束
开始
第11题图
n
(一)必做题(9~13题)
9.不等式的解集为___________.
【解析】;易得不等式的解集为.
10.若曲线在点处的切线平行于轴,则______.
【解析】;求导得,依题意,所以.
11.执行如图所示的程序框图,若输入的值为,则输出的值为______.
【解析】;第一次循环后:;第二次循环后:;
第三次循环后:;第四次循环后:;故输出.
12.
在等差数列中,已知,则_____.
【解析】;依题意,所以.
x
y
4
4
1
O
或:
13.
给定区域:,令点集
是在上取得最大值或最小值的点,则中的点共确定______
条不同的直线.
【解析】;画出可行域如图所示,其中取得最小值时的整点为,取得最大值时的整点为,,,及共个整点.故可确定条不同的直线.
(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分)
14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线的参数方程为(为参数),在点处的切线为,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则的极坐标方程为_____________.
.
A
E
D
C
B
O
第15题图
【解析】;曲线的普通方程为,其在点处的切线的方程为,对应的极坐标方程为,即.
15.
(几何证明选讲选做题)如图,是圆的直径,点在圆上,延长到使,过作圆的切线交于.若,,则_________.
【解析】;依题意易知,所以,又,所以,从而.
三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分)
已知函数,.
(Ⅰ)
求的值;
(Ⅱ)
若,,求.
【解析】(Ⅰ);
(Ⅱ)
因为,,所以,所以,所以.
17.(本小题满分12分)
第17题图
某车间共有名工人,随机抽取名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.
(Ⅰ)
根据茎叶图计算样本均值;
(Ⅱ)
日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.
根据茎叶图推断该车间名工人中有几名优秀工人;
(Ⅲ)
从该车间名工人中,任取人,求恰有名优秀
工人的概率.
【解析】(Ⅰ)
样本均值为;
(Ⅱ)
由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为,故推断该车间名工人中有名优秀工人.
(Ⅲ)
设事件:从该车间名工人中,任取人,恰有名优秀工人,则.
18.(本小题满分14分)
如图1,在等腰直角三角形中,,,分别是上的点,,.
C
O
B
D
E
A
C
D
O
B
E
图1
图2
为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中.
C
D
O
B
E
H
(Ⅰ)
证明:平面;
(Ⅱ)
求二面角的平面角的余弦值.
【解析】(Ⅰ)
在图1中,易得
连结,在中,由余弦定理可得
由翻折不变性可知,所以,所以,理可证,又,所以平面.
(Ⅱ)
传统法:过作交的延长线于,连结,因为平面,所以,所以为二面角的平面角.
结合图1可知,为中点,故,从而
C
D
O
x
E
向量法图
y
z
B
所以,所以二面角的平面角的余弦值为.
向量法:以点为原点,建立空间直角坐标系如图所示,则,,所以,设为平面的法向量,则,即,解得,令,得
由(Ⅰ)
知,为平面的一个法向量,所以,即二面角的平面角的余弦值为.
19.(本小题满分14分)
设数列的前项和为.已知,,.
(Ⅰ)
求的值;
(Ⅱ)
求数列的通项公式;
(Ⅲ)
证明:对一切正整数,有.
【解析】(Ⅰ)
依题意,,又,所以;
(Ⅱ)
当时,,两式相减得
整理得,即,又
故数列是首项为,公差为的等差数列,所以,所以.
(Ⅲ)
当时,;当时,;
当时,此时
综上,对一切正整数,有.
20.(本小题满分14分)
已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线:的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.
(Ⅰ)
求抛物线的方程;
(Ⅱ)
当点为直线上的定点时,求直线的方程;
(Ⅲ)
当点在直线上移动时,求的最小值.
【解析】(Ⅰ)
依题意,设抛物线的方程为,由结合,解得.
所以抛物线的方程为.
(Ⅱ)
抛物线的方程为,即,求导得
设,(其中),则切线的斜率分别为,,所以切线的方程为,即,即
同理可得切线的方程为
因为切线均过点,所以,所以为方程的两组解.
所以直线的方程为.
(Ⅲ)
由抛物线定义可知,,所以
联立方程,消去整理得
由一元二次方程根与系数的关系可得,所以
又点在直线上,所以,所以
所以当时,取得最小值,且最小值为.
21.(本小题满分14分)
设函数(其中).
(Ⅰ)
当时,求函数的单调区间;
(Ⅱ)
当时,求函数在上的最大值.
【解析】(Ⅰ)
当时,,令,得,当变化时,的变化如下表:
极大值
极小值
右表可知,函数的递减区间为,递增区间为,.
(Ⅱ),令,得,,令,则,所以在上递增,所以,从而,所以
所以当时,;当时,;
所以
令,则,令,则
所以在上递减,而
所以存在使得,且当时,,当时,,所以在上单调递增,在上单调递减.
因为,,所以在上恒成立,当且仅当时取得“”.
综上,函数在上的最大值.