江苏专版版高考数学复习不等式练习文

江苏专版2018版高考数学复习不等式练习文本文简介：第八章不等式第45课一元二次不等式A应知应会1.(2015·广东卷)不等式-x2-3x+4>0的解集为.(用区间表示)2.不等式0的解集为{x|-10;q:实数x满足x2-4x+3≤0.(1)若a=1,且“p∧q”为真,求实数x的取值范围;(2)若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.6.求关

江苏专版2018版高考数学复习不等式练习文本文内容：

第八章

不等式

第45课

一元二次不等式

A

应知应会

1.

(2015·广东卷)不等式-x2-3x+4>0的解集为

.(用区间表示)

2.

不等式0的解集为{x|-10;q:实数x满足x2-4x+3≤0.

(1)

若a=1,且“p∧q”为真,求实数x的取值范围;

(2)

若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.

6.

求关于x的不等式12x2-ax>a2(a∈R)的解集.

B

巩固提升

1.

(2016·苏北四市摸底)已知函数f(x)=-x2+2x,那么不等式f(log2x)4x+a-3对于任意a∈[0,4]恒成立,则x的取值范围是

.

3.

(2016·南京一中)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)1,解关于x的不等式f(x)1时,函数y=x+的最小值是

.

2.

已知正数x,y满足x+y=1,那么+的最小值为

.

3.

若x+2y=1,则2x+4y的最小值为

.

4.

(2016·常熟中学)已知x>0,y>0,且4xy-x-2y=4,那么xy的最小值为

.

5.

已知x>0,y>0,且x+y=1.

(1)

求+的最小值;

(2)

求+的最大值.

6.

运货卡车以x

km/h的速度匀速行驶130

km,按交通法规限制50≤x≤100(单位:km/h).假设汽油的价格是2元/L,汽车每小时耗油

L,司机的工资是14元/h.

(1)

求这次行车总费用y关于x的表达式;

(2)

当x为何值时,这次行车的总费用最低?并求出最低费用.

B

巩固提升

1.

已知a>0,b>0,若不等式+≥恒成立,则m的最大值为

.

2.

(2016·扬州期末)已知a>b>1,且2logab+3logba=7,那么a+的最小值为

.

3.

(2016·苏州期末)已知ab=,a,b∈(0,1),那么+的最小值为

.

4.

(2016·江苏卷)在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是

.

5.

已知变量x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12,求+的最小值.

6.

(2016·苏北四市摸底)如图,墙上有一幅壁画,最高点A离地面4

m,最低点B离地面2

m,观察者从距离墙x

m(x>1)、离地面高a

m(1≤a≤2)的C处观赏该壁画.设观赏视角∠ACB=θ.

(1)

若a=1.5,问:观察者离墙多远时,视角θ最大?

(2)

若tanθ=,当a变化时,求x的取值范围.

(第6题)

第48课

不等式的综合应用

A

应知应会

1.

已知p:x2-4x-5>0,q:x2-2x+1-m2>0(m>0).若p是q的充分不必要条件,则m的最大值为

.

2.

已知x为实数,那么y=+的最大值为

.

3.

已知函数f(x)=x|x+1|,那么f0,≤a恒成立,则实数a的取值范围是

.

5.

已知函数f(x)=x|x-2|,求不等式f(-x)≤f(1)的解集.

6.

如图,某小区拟在空地上建一个占地面积为2

400

m2的矩形休闲广场,按照设计要求,休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域,周边及绿化区域之间的道路(图中阴影部分)的宽度均为2

m.问:怎样设计矩形休闲广场的长和宽,才能使绿化区域的总面积最大?并求出其最大面积.

(第6题)

B

巩固提升

1.

(2015·四川卷)已知函数f(x)=(m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0,n≥0)在区间上单调递减,那么mn的最大值为

.

2.

(2015·南京、盐城、徐州二模)已知α,β均为锐角,且cos(α+β)=,那么tan

α的最大值是

.

3.

若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,则实数a的值为

.

4.

(2015·浙江卷)已知实数x,y满足x2+y2≤1,那么|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值是

.

5.

已知函数f(x)=x3-x2+x,y=f

(x)为f(x)的导函数,设h(x)=ln

f

(x),若对于任意的x∈[0,1],不等式h(x+1-t)0,得-40的解集为(-4,1).

2.

3.

0

【解析】因为ax2+bx+2>0的解集为(-1,2),所以一元二次方程ax2+bx+2=0的两根分别为-1,2,由韦达定理可得解得所以a+b=0.

4.

(-∞,-4)∪(4,+∞)

【解析】因为不等式x2+ax+40,即a2>16,所以a>4或a0,得aa2,所以12x2-ax-a2>0,即(4x+a)(3x-a)>0.

令(4x+a)(3x-a)=0,得x1=-,x2=.

①当a>0时,-0,解集为{x|x∈R且x≠0};

③当a,解集为.

综上,当a>0时,原不等式的解集为;当a=0时,原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0};当a2,解得x∈(0,1)∪(4,+∞).

2.

(-∞,-1)∪(3,+∞)

【解析】原不等式等价于x2+ax-4x-a+3>0,所以a(x-1)+x2-4x+3>0.令f(a)=a(x-1)+x2-4x+3,则函数f(a)=a(x-1)+x2-4x+3表示一条直线,所以要使f(a)=a(x-1)+x2-4x+3>0对于任意a∈[0,4]恒成立,则有f(0)>0,f(4)>0,即x2-4x+3>0且x2-1>0,解得x>3或x,故原不等式可化为x+≥,它在(-1,0)上恒成立;当04,x1时,因为x+≥4,x>,故原不等式可化为4≥,解得x≥2.综上所述,原不等式的解集为(-∞,0)∪∪[2,+∞).

5.

【解答】(1)

将x1=3,x2=4分别代入方程-x+12=0中,得解得所以f(x)=(x≠2).

(2)

不等式即为0.

①当10,解集为x∈(1,2)∪(2,+∞);

③当k>2时,解集为x∈(1,2)∪(k,+∞).

综上,当12时,原不等式的解集为(1,2)∪(k,+∞).

6.

【解答】(1)

因为ax2+(a-2)x-2≥0的解集为(-∞,-1]∪[2,+∞),所以方程ax2+(a-2)x-2=0的两根分别为x=-1或x=2,所以-1×2=,解得a=1.

(2)

若不等式ax2+(a-2)x-2≥2x2-3对任意x∈R恒成立,即(a-2)x2+(a-2)x+1≥0对任意x∈R恒成立.因此,①当a=2时,不等式变为1≥0,显然成立;②当a≠2时,解得20时,-1,所以(x+1)(ax-2)≥0?≤x≤-1.

综上可得,当a=0时,原不等式的解集为{x|x≤-1};

当a>0时,原不等式的解集为;

当-20,1+2×1-1>0.又因为含有边界,所以△ABC围成的区域所表示的二元一次不等式组为

(第1题)

2.

-1

【解析】根据约束条件作出可行域如图中阴影部分所示,由图可知,当直线z=2x-y过点A时,z取得最小值.联立解得所以A(0,1),所以z的最小值为-1.

(第2题)

3.

2

【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分如示.联立解得即点A(a,a).作直线l:z=x+y,则z为直线l在y轴上的截距.当直线l经过可行域上的点A(a,a)时,直线l在y轴上的截距最大,此时z取最大值,即zmax=a+a=2a=4,解得a=2.

(第3题)

4.

(-∞,-2]∪[0,+∞)

【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,直线y=k(x-1)过定点E(1,0),因为kEA=0,kEC==-2,所以k的取值范围为(-∞,-2]∪[0,+∞).

(第4题)

5.

【解答】因为|x-1|+|y-1|≤2可化为

作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,所以所求的面积为×4×4=8.

(第5题)

6.

【解答】画出可行域如图中阴影部分所示.

(第6题)

(1)

z1=x2+y2表示的是可行域内任意一点(x,y)到点(0,0)的距离的平方.由图可知点A(x,y)到点O(0,0)的距离最小,点A的坐标是(1,0),所以z1

min=12+02=1.

(2)

z2=表示的是可行域内任意一点(x,y)与点B(-1,1)连线的斜率.由图可知点A(1,0)与点B(-1,1)连线的斜率最小,z2

min==-,z2

max=1(取不到),所以z2的取值范围是-,1.

B

巩固提升

1.

【解析】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示.令z=3x-4y-10,则平移直线3x-4y=0经过点A(1,0)时,zmax=3-10=-7;平移直线3x-4y=0经过点B时,zmin=-3-10=-,即-≤z=3x-4y-10≤-7,从而7≤|3x-4y-10|≤.故|3x-4y-10|的最大值为.

(第1题)

2.

【解析】因为=,故的最大值为可行域中的点与点连线的斜率的最大值.作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,由图易知,点(1,4)与点连线的斜率最大,且最大值为.

(第2题)

3.

【解析】记z=ax-y.当x=0时,y=-z,即直线z=ax-y在y轴上的截距是-z.作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,由图易知,满足题意的实数a的取值范围为.

(第3题)

4.

【解析】==+,令t=,则t的几何意义为不等式组对应的可行域中的任一点与点(-1,1)连线的斜率.作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,由图易知t∈,即=,所以原式的最大值为.

(第4题)

5.

【解答】设甲项目投资x万元,乙项目投资y万元,增长的GDP为z万元,则投资甲、乙两个项目可增长的GDP为z=2.6x+2y.

依题意知x,y满足

作出此不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.

(第5题)

把z=2.6x+2y变形为y=-1.3x+0.5z,其在y轴上的截距为0.5z.

由图可知当直线y=-1.3x+0.5z经过可行域上的点B时,其纵截距取得最大值,也即z取得最大值.

由得x=2

000,y=1

000,即点B的坐标为(2

000,1

000),故当甲项目投资2

000万元、乙项目投资1

000万元时,GDP增长得最多.

6.

【解答】设f(x)=x2+ax+2b.由题意得?作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,(第6题)

其中A(-3,1),B(-2,0),C(-1,0).

(1)

表示可行域中的点(a,b)与点(1,2)连线的斜率,故取值范围为.

(2)

(a-1)2+(b-1)2表示可行域中的点(a,b)到点(1,1)的距离的平方,故取值范围为(5,16).

(3)

目标函数z=a+b-3在平面区域内的取值范围是(-5,-4),即a+b-3的取值范围为(-5,-4).

第47课

基本不等式及其应用

A

应知应会

1.

3

【解析】因为x>1,所以y=x+=(x-1)++1≥2+1=3,当且仅当x-1=,即x=2时等号成立,故函数y的最小值为3.

2.

9

【解析】+=(x+y)=1+++4≥5+2=5+4=9,当且仅当x=,y=时取等号.

3.

2

【解析】易知2x+4y=2x+22y≥2=2=2,当且仅当x=,y=时等号成立.

4.

2

【解析】因为x>0,y>0,x+2y≥2,所以4xy-(x+2y)≤4xy-2,所以4≤4xy-2,所以(-2)(+1)≥0,所以≥2,所以xy≥2.

5.

【解答】(1)

+=(x+y)=10++≥10+2=18,当且仅当=,即x=,y=时等号成立,所以+的最小值为18.

(2)

由题设得+≤=2,当且仅当2x+1=2y+1,即x=y=时取等号,所以+的最大值为2.

6.

【解答】(1)

设所用时间为t

h,则t=,y=×2×+14×,x∈[50,100],所以这次行车总费用y关于x的表达式是y=+x,x∈[50,100].

(2)

y=+x≥26,当且仅当=x,即x=18时等号成立.

故当行驶的速度为18

km/h时,这次行车的总费用最低,最低费用为26

元.

B

巩固提升

1.

12

【解析】由+≥,得m≤(a+3b)=++6.又++6≥2+6=12,所以m≤12,所以m的最大值为12.

2.

3

【解析】因为2logab+3logba=7,所以2(logab)2-7logab+3=0,解得logab=或logab=3.因为a>b>1,所以logab∈(0,1),故logab=,从而b=,因此a+=a+=(a-1)++1≥3,当且仅当a=2时等号成立.

3.

4+

【解析】因为b=,a∈(0,1),所以+=+=++2=+2.令2a+1=t,则a=,原式=+2=+2≥+2=4+,当且仅当t=,即a=∈(0,1)时取等号,故原式的最小值为4+.

4.

8

【解析】因为sinA=2sinBsinC,sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,所以sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,两边同时除以cosBcosC得tanB+tanC=2tanBtanC.又tanAtanBtanC=-tan(B+C)tanBtanC=-·tanB·tanC=.由锐角三角形ABC,得tanB>0,tanC>0,tanA=>0,即tanBtanC-1>0.令tanBtanC-1=t(t>0),则tanAtanB·tanC==2t++4≥8,当且仅当t=1时取等号.

5.

【解答】作出可行区域如图中阴影部分所示,当直线z=ax+by(a>0,b>0)过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点A(4,6)时,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值12,即4a+6b=12,即2a+3b=6,又

+=·=+≥+2=,当且仅当=,即a=b=时取等号.

所以+的最小值为.

(第5题)

6.

【解答】(1)

当a=1.5时,过C作AB的垂线,垂足为D,则BD=0.5

m,且θ=∠ACD-∠BCD.

因为观察者离墙x

m,且x>1,则tan∠BCD=,tan∠ACD=,所以tanθ=tan(∠ACD-∠BCD)

==

=≤=,当且仅当x=,即x=>1时取等号.

又因为tanθ在上单调递增,所以当观察者离墙

m时,视角θ最大.

(2)

由题意得tan∠BCD=,tan∠ACD=,又tanθ=,所以tanθ=tan(∠ACD-∠BCD)

=

==,所以a2-6a+8=-x2+4x.

当1≤a≤2时,0≤a2-6a+8≤3,所以0≤-x2+4x≤3,解得0≤x≤1或3≤x≤4.

又因为x>1,所以3≤x≤4,所以x的取值范围为[3,4].

第48课

不等式的综合应用

A

应知应会

1.

2

【解析】由题意知p:x>5或x0,所以y=+≤·=4,当且仅当=,即x=22时等号成立.

3.

【解析】原不等式可化为0,所以=≤=,当且仅当x=(x>0),即x=1时等号成立,故实数a的取值范围是,+∞.

5.

【解答】f(x)=x|x-2|=其图象如图所示.

当x≥2时,令f(x0)=f(1),即-2x0=1,解得x0=1+(x0=1-,舍去),从而不等式f(-x)≤f(1)等价于-x≤1+,解得x≥-1,即不等式f(-x)≤f(1)的解集为[-1,+∞).

(第5题)

6.

【解答】设休闲广场的长为x

m,则宽为

m,绿化区域的总面积为S

m2,则

S=(x-6)

=2

424-

=2

424-4,x∈(6,600).

因为x∈(6,600),所以x+≥2=120,当且仅当x=,即x=60时取等号,此时S取得最大值1

944.

答:当休闲广场的长为60

m,宽为40

m时,绿化区域总面积最大,最大面积为1

944

m2.

B

巩固提升

1.

18

【解析】当m=2时,f(x)=(n-8)x+1,由f(x)在区间上单调递减,知n2时,-≥2,即2m+n≤12.因为≤≤6,所以mn≤18.由2m=n且2m+n=12得m=3,n=6.当m2,不合题意,故应舍去,所以要使得mn取得最大值,应有m+2n=18(m8),mn=(18-2n)n0,所以tan

α=====≤=,当且仅当2tan

β=,即tan

β=时,等号成立.

3.

-4或8

【解析】当a≥2时,f(x)=由图(1)可知f(x)min=f=-1=3,得a=8.

当a0,所以z=|2x+y-4|+|6-x-3y|=4-2x-y+6-x-3y=10-3x-4y.当直线3x+4y-10+z=0与圆x2+y2=1相切时,z取得最大值,此时=1,因此zmax=15.

5.

【解答】由已知有f

(x)=(x-1)2,则h(x)=2ln|x-1|,所以h(x+1-t)=2ln|x-t|,h(2x+2)=2ln|2x+1|.

当x∈[0,1]时,|2x+1|=2x+1,所以不等式等价于0<|x-t|<2x+1恒成立,解得-x-1

当x∈[0,1],得-x-1∈[-2,-1],3x+1∈[1,4],所以-1

又x≠t,所以t?[0,1],所以t的取值范围是(-1,0).

6.

【解答】(1)

如图(1),过点O作OH⊥AB于点H,记OH=d,则α=2∠AOH,cos∠AOH=.

要使α取得最小值,只需要d取得最大值,结合图形可得d≤OP=5

km,当且仅当AB⊥OP时,dmax=5

km.

此时αmin=2∠AOH=2×=.

设AB把园区分成两个区域,其中较小区域的面积记为S.

由题意得S=f(α)=S扇形AOB-S△AOB=50(α-sinα).

因为f

(α)=50(1-cosα)≥0恒成立,所以f(α)为增函数,所以Smin=f=50.

即视角的最小值为,较小区域面积的最小值是50

km2.

(第6题(1))

(2)

如图(2),过O分别作OH⊥AB,OH1⊥CD,垂足分别是H,H1,记OH=d1,OH1=d2.由(1)可知d1∈[0,5],所以+=OP2=25,故=25-.

因为AB=2,CD=2,所以AB+CD=2(+)=2(+),记L(d1)=AB+CD=2(+),可得[L(d1)]2=4[175+2],由∈[0,25],可知=0或=25时,[L(d1)]2取得的最小值为100(7+4),从而AB+CD的最小值是20+10.

即两条公路长度和的最小值是(20+10)

km.

(第6题(2))