版高考数学复习解析几何9.2两直线的位置关系真题演练集训理新人教A版

2018版高考数学复习解析几何9.2两直线的位置关系真题演练集训理新人教A版本文简介：2018版高考数学一轮复习第九章解析几何9.2两直线的位置关系真题演练集训理新人教A版1．[2016·四川卷]设直线l1，l2分别是函数f(x)＝图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是()A．(0,1)B．(0,2)C

2018版高考数学复习解析几何9.2两直线的位置关系真题演练集训理新人教A版本文内容：

2018版高考数学一轮复习

第九章

解析几何

9.2

两直线的位置关系真题演练集训

理

新人教A版

1．[2016·四川卷]设直线l1，l2分别是函数f(x)＝图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是(

)

A．(0,1)

B．(0,2)

C．(0，＋∞)

D．(1，＋∞)

答案：A

解析：不妨设P1(x1，ln

x1)，P2(x2，－ln

x2)，

由于l1⊥l2，所以×＝－1，则x1＝.

又切线l1：y－ln

x1＝(x－x1)，

l2：y＋ln

x2＝－(x－x2)，于是A(0，ln

x1－1)，B(0,1＋ln

x1)，所以|AB|＝2.

联立

解得xP＝.

所以S△PAB＝×2×xP＝，

因为x1>1，所以x1＋>2，

所以S△PAB的取值范围是(0,1)，故选A.

2．[2013·新课标全国卷Ⅱ]已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是(

)

A.

(0,1)

B.

C.

D.

答案：B

解析：如图①所示，点F在线段AB上时，

可求得E，

则S△EFB＝·＝S△ABC＝，

整理得a＝，

由

可解得≤b0，

则＝＝＝

≤＝4，

当且仅当t＝，即t＝5时等号成立；

当m＝时，＝0；

当m>时，t＝

＝＝≥＝－1，

当且仅当t＝，即t＝－5时等号成立．

综上可得，(m∈R)的最大值为4，

所以点P(2,1)到直线mx－y－3＝0(m∈R)的最大距离是＝2.

解法二：对于直线l：mx－y－3＝0(m∈R)，

令m＝0，则有－y－3＝0；

令m＝1，则有x－y－3＝0，

解方程组得

则直线l经过定点Q(0，－3)，如图所示．

由原题答图知，当PQ⊥l时，点P(2,1)到直线l的距离取得最大值，此时|PQ|＝＝2，

所以点P(2,1)到直线l的最大距离是2.

[答案]

2

方法探究

受思维定式的影响，很容易想到解法一，这种方法看起来可行，但是在具体求解时很繁琐，解法二应用数形结合的思想，方便简捷，是最优解法，值得学习和借鉴．

专题二

有关直线的距离最值问题

[典例3]

已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)．

(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；

(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大．

[思路分析]

[解]

(1)设A关于直线l的对称点A′(m，n)，

则解得

故A′(－2,8)．

P为直线l上的一点，则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，

当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，

则点P就是直线A′B与直线l的交点，

解得

故所求的点P的坐标为(－2,3)．

(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则||PB|－|PA||≤|AB|，

当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，

则点P就是直线AB与直线l的交点，

又直线AB的方程为y＝x－2，

解得

故所求的点P的坐标为(12,10)．

[典例4]

已知点A(3,1)，在直线y＝x和y＝0上各找一点M和N，使△AMN的周长最短，并求出最短周长．

[思路分析]

[解]

由点A(3,1)及直线y＝x，可求得点A关于y＝x的对称点为点B(1,3)，同样可求得点A关于y＝0的对称点为点C(3，－1)，如图所示．

则|AM|＋|AN|＋|MN|＝|BM|＋|CN|＋|MN|≥|BC|，

当且仅当B，M，N，C四点共线时，△AMN的周长最短，为|BC|＝2.

由B(1,3)，C(3，－1)可得，直线BC的方程为2x＋y－5＝0.

由得

故点M的坐标为.

对于2x＋y－5＝0，令y＝0，得x＝，

故点N的坐标为.

故在直线y＝x上找一点M，在y＝0上找一点N，可使△AMN的周长最短，最短周长为2.

领悟整合

在直线l上找一点P到两定点A，B的距离之和最小，则点P必在线段AB′上，故将l同侧的点利用对称转化为异侧的点；若点P到两定点A，B的距离之差最大，则点P必在AB′的延长线或BA′的延长线上，故将l异侧的点利用对称性转化为同侧的点(A′，B′为点A，B关于l的对称点)．