届中考数学热身一元二次方程含解析

2017届中考数学热身一元二次方程含解析本文简介：一元二次方程1．某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3000万元，预计2016年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．3000（1+x）2=5000B．3000x2=5000C．3000（1+x%）2=5000D．3000（1+x

2017届中考数学热身一元二次方程含解析本文内容：

一元二次方程

1．某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3000万元，预计2016年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（

）

A．3000（1+x）2=5000B．3000x2=5000

C．3000（1+x%）2=5000D．3000（1+x）+3000（1+x）2=5000

2．方程（x﹣2）2=9的解是（

）

A．x1=5，x2=﹣1B．x1=﹣5，x2=1C．x1=11，x2=﹣7D．x1=﹣11，x2=7

3．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（

）

A．8人B．9人C．10人D．11人

4．如果x=4是一元二次方程x2﹣3x=a2的一个根，那么常数a的值是（

）

A．2B．﹣2C．±2D．±4

5．方程x2=4x的解是（

）

A．x=4B．x=2C．x=4或x=0D．x=0

6．某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的55元降到了35元．设平均每次降价的百分率为x，则下列方程中正确的是（

）

A．55（1+x）2=35B．35（1+x）2=55C．55（1﹣x）2=35D．35（1﹣x）2=55

7．方程x（x+2）=0的根是（

）

A．x=2B．x=0C．x1=0，x2=﹣2D．x1=0，x2=2

8．方程x2=4x的解是

．

9．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a=0．

（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；

（2）如果此方程的两个实数根为x1，x2，且满足，求a的值．

10．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0…①

（1）若x=﹣1是方程①的一个根，求m的值和方程①的另一根；

（2）对于任意实数m，判断方程①的根的情况，并说明理由．

11．已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1=0（m为实数），

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数并求出此时方程的解．

12．刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发赶往30千米外的A镇；二分队因疲劳可在营地休息a（0≤a≤3）小时再赶往A镇参加救灾．一分队出发后得知，唯一通往A镇的道路在离营地10千米处发生塌方，塌方处地形复杂，必须由一分队用1小时打通道路．已知一分队的行进速度为5千米/时，二分队的行进速度为（4+a）千米/时．

（1）若二分队在营地不休息，问二分队几个小时能赶到A镇？

（2）若需要二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地休息几个小时？

（3）下列图象中，①②分别描述一分队和二分队离A镇的距离y（千米）和时间x（小时）的函数关系，请写出你认为所有可能合理图象的代号，并说明它们的实际意义．

13．某商店购进一种商品，单价30元．试销中发现这种商品每天的销售量p（件）与每件的销售价x（元）满足关系：p=100﹣2x．若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？

14．如图①，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的边．如图②，地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米．求花边的宽．

15．如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？

16．如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．

（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；

（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．

17．（1）解方程求出两个解x1、x2，并计算两个解的和与积，填人下表

方程

x1

x2

x1+x2

x1?x2

9x2﹣2=0

2x2﹣3x=0

x2﹣3x+2=0

关于x的方程ax2+bx+c=0

（a、b、c为常数，

且a≠0，b2﹣4ac≥0）

（2）观察表格中方程两个解的和、两个解的积与原方程的系数之间的关系有什么规律？写出你的结论．

一元二次方程

参考答案与试题解析

1．某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2014年投入3000万元，预计2016年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（

）

A．3000（1+x）2=5000B．3000x2=5000

C．3000（1+x%）2=5000D．3000（1+x）+3000（1+x）2=5000

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．

【专题】增长率问题；压轴题．

【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设教育经费的年平均增长率为x，根据“2014年投入3000万元，预计2016年投入5000万元”，可以分别用x表示2014以后两年的投入，然后根据已知条件可得出方程．

【解答】解：依题意得2016年投入为3000（1+x）2，

∴3000（1+x）2=5000．

故选A．

【点评】找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律．

2．方程（x﹣2）2=9的解是（

）

A．x1=5，x2=﹣1B．x1=﹣5，x2=1C．x1=11，x2=﹣7D．x1=﹣11，x2=7

【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．

【分析】根据平方根的定义首先开方，求得x﹣2的值，进而求得x的值．

【解答】解：开方得，x﹣2=±3

解得x1=5，x2=﹣1．

故选A．

【点评】（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．

（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．

（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．

3．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（

）

A．8人B．9人C．10人D．11人

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】其他问题；压轴题．

【分析】本题考查增长问题，应理解“增长率”的含义，如果设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，那么由题意可列出方程，解方程即可求解．

【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，

第一轮过后有（1+x）个人感染，第二轮过后有（1+x）+x（1+x）个人感染，

那么由题意可知1+x+x（1+x）=100，

整理得，x2+2x﹣99=0，

解得x=9或﹣11，

x=﹣11不符合题意，舍去．

那么每轮传染中平均一个人传染的人数为9人．

故选B．

【点评】主要考查增长率问题，可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．

4．如果x=4是一元二次方程x2﹣3x=a2的一个根，那么常数a的值是（

）

A．2B．﹣2C．±2D．±4

【考点】一元二次方程的解．

【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．

【解答】解：把x=4代入方程x2﹣3x=a2可得16﹣12=a2，

解得a=±2，

故选：C．

【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．

5．方程x2=4x的解是（

）

A．x=4B．x=2C．x=4或x=0D．x=0

【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．

【专题】计算题．

【分析】本题可先进行移项得到：x2﹣4x=0，然后提取出公因式x，两式相乘为0，则这两个单项式必有一项为0．

【解答】解：原方程可化为：x2﹣4x=0，提取公因式：x（x﹣4）=0，

∴x=0或x=4．

故选：C．

【点评】本题考查了运用提取公因式的方法解一元二次方程的方法．

6．某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的55元降到了35元．设平均每次降价的百分率为x，则下列方程中正确的是（

）

A．55（1+x）2=35B．35（1+x）2=55C．55（1﹣x）2=35D．35（1﹣x）2=55

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．

【专题】增长率问题．

【分析】如果设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格是55（1﹣x），再在这个数的基础上降价x，即可得到35元，可列出方程．

【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，

则根据题意可列方程为：55（1﹣x）2=35；

故选C．

【点评】掌握好增长率问题的一般规律，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．

7．方程x（x+2）=0的根是（

）

A．x=2B．x=0C．x1=0，x2=﹣2D．x1=0，x2=2

【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．

【专题】压轴题；因式分解．

【分析】本题可根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．

【解答】解：x（x+2）=0，

?x=0或x+2=0，

解得x1=0，x2=﹣2．

故选C．

【点评】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．

8．方程x2=4x的解是

0或4

．

【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．

【专题】压轴题；因式分解．

【分析】此题用因式分解法比较简单，先移项，再提取公因式，可得方程因式分解的形式，即可求解．

【解答】解：原方程可化为：x2﹣4x=0，

∴x（x﹣4）=0

解得x=0或4；

故方程的解为：0，4．

【点评】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法，此题方程两边公因式较明显，所以本题运用的是因式分解法．

9．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a=0．

（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；

（2）如果此方程的两个实数根为x1，x2，且满足，求a的值．

【考点】根的判别式；根与系数的关系．

【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，必须满足△=b2﹣4ac＞0，从而求出a的取值范围．

（2）利用根与系数的关系，根据+=即可得到关于a的方程，从而求得a的值．

【解答】解：（1）△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣a）=4+4a．

∵方程有两个不相等的实数根，

∴△＞0．即4+4a＞0

解得a＞﹣1．

（2）由题意得：x1+x2=2，x1?x2=﹣a．

∵，

，

．

∴a=3．

【点评】本题综合考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系．

10．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0…①

（1）若x=﹣1是方程①的一个根，求m的值和方程①的另一根；

（2）对于任意实数m，判断方程①的根的情况，并说明理由．

【考点】根的判别式；一元二次方程的解；解一元二次方程﹣因式分解法．

【分析】（1）直接把x=﹣1代入方程即可求得m的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；

（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断．

【解答】解：（1）因为x=﹣1是方程①的一个根，

所以1+m﹣2=0，

解得m=1，

∴方程为x2﹣x﹣2=0，

解得x1=﹣1，x2=2．

所以方程的另一根为x=2；

（2）∵b2﹣4ac=m2+8，

因为对于任意实数m，m2≥0，

所以m2+8＞0，

所以对于任意的实数m，

方程①有两个不相等的实数根．

【点评】本题主要是根据方程的解的定义求得未知系数，把判断一元二次方程的根的情况转化为根据判别式判断式子的值与0的大小关系的问题．

11．已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1=0（m为实数），

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数并求出此时方程的解．

【考点】根的判别式；根与系数的关系．

【专题】计算题；证明题．

【分析】（1）只要证得△=b2﹣4ac＞0，就说明方程有两个不相等的实数根．

（2）方程的两根互为相反数，说明m+2=0，从而求得m的值，再代入原方程求出此时方程的解．

【解答】（1）证明：∵a=1，b=m+2，c=2m﹣1，

∴△=b2﹣4ac=（m+2）2﹣4（2m﹣1）=（m﹣2）2+4

∵（m﹣2）2≥0，

∴（m﹣2）2+4＞0

即△＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

（2）解：∵方程两根互为相反数，

∴两根之和=﹣（m+2）=0，

解得m=﹣2

即当m=﹣2时，方程两根互为相反数．

当m=﹣2时，原方程化为：x2﹣5=0，

解得：x1=，x2=﹣．

【点评】（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

①△＞0?方程有两个不相等的实数根；

②△=0?方程有两个相等的实数根；

③△＜0?方程没有实数根．

（2）解题时注意方程两根互为相反数，说明b=0．

12．刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发赶往30千米外的A镇；二分队因疲劳可在营地休息a（0≤a≤3）小时再赶往A镇参加救灾．一分队出发后得知，唯一通往A镇的道路在离营地10千米处发生塌方，塌方处地形复杂，必须由一分队用1小时打通道路．已知一分队的行进速度为5千米/时，二分队的行进速度为（4+a）千米/时．

（1）若二分队在营地不休息，问二分队几个小时能赶到A镇？

（2）若需要二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地休息几个小时？

（3）下列图象中，①②分别描述一分队和二分队离A镇的距离y（千米）和时间x（小时）的函数关系，请写出你认为所有可能合理图象的代号，并说明它们的实际意义．

【考点】一次函数的应用．

【专题】压轴题；开放型．

【分析】（1）根据题意可直接求出二分队赶到A镇的时间为2.5+0.5+5=8小时；

（2）先求出一分队需要的时间是7小时，分两种情况考虑：①若二分队在塌方处需停留；②若二分队在塌方处不停留，经过讨论后舍去第一种取第二种情况即二分队应在营地休息1小时或2小时；

（3）根据实际题意可知合理的图象为（b），（d）．

【解答】解：（1）若二分队在营地不休息，

则a=0，速度为4千米/时，行至塌方处需（小时），

因为一分队到塌方处并打通道路需要（小时），

故二分队在塌方处需停留0.5小时，所以二分队在营地不休息赶到A镇需（小时）；

（2）一分队赶到A镇共需（小时）．

①若二分队在塌方处需停留，则后20千米需与一分队同行，

故4+a=5，则a=1，

这与二分队在塌方处停留矛盾，舍去；

②若二分队在塌方处不停留，则（4+a）（7﹣a）=30，

即a2﹣3a+2=0，

解得a1=1，a2=2．

经检验a1=1，a2=2均符合题意．

答：二分队应在营地休息1小时或2小时；

（3）合理的图象为（b），（d）．

理由是：

图象（b）表明二分队在营地休息时间过长（2＜a≤3），后于一分队赶到A镇；

图象（d）表明二分队在营地休息时间恰当（1＜a≤2），先于一分队赶到A镇．

【点评】此题主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力和读图能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确地列出解析式，再把对应值代入求解，并会根据图示得出所需要的信息．

13．某商店购进一种商品，单价30元．试销中发现这种商品每天的销售量p（件）与每件的销售价x（元）满足关系：p=100﹣2x．若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】销售问题．

【分析】本题的等量关系是每件商品的利润×每天的销售量=每天的总利润．依据这个等量关系可求出商品的售价，然后代入p与x的关系式中求出p的值．

【解答】解：设每件商品的售价应定为x元，每天要销售这种商品p件．

根据题意得：（x﹣30）（100﹣2x）=200，

整理得：x2﹣80x+1600=0，

∴（x﹣40）2=0，

∴x1=x2=40

∴p=100﹣2x=20；

故，每件商品的售价应定为40元，每天要销售这种商品20件．

【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

14．如图①，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的边．如图②，地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米．求花边的宽．

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】几何图形问题．

【分析】本题可根据地毯的面积为40平方米来列方程，其等量关系式可表示为：

（矩形图案的长+两个花边的宽）×（矩形图案的宽+两个花边的宽）=地毯的面积．

【解答】解：设花边的宽为x米，

根据题意得（2x+6）（2x+3）=40，

解得x1=1，x2=﹣，

x2=﹣不合题意，舍去．

答：花边的宽为1米．

【点评】本题可根据关键语句和等量关系列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．

15．如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】几何图形问题；压轴题．

【分析】本题可设无盖长方体箱子宽为x米，则长为（x+2）米，根据刚好能围成一个容积为15米3的无盖长方体箱子，结合图形可列出方程，求出答案．

【解答】解：设长方体箱子宽为x米，则长为（x+2）米．

依题意，有x（x+2）×1=15．

整理，得x2+2x﹣15=0，

解得x1=﹣5（舍去），x2=3，

∴这种运动箱底部长为5米，宽为3米．

由长方体展开图可知，所购买矩形铁皮面积为

（5+2）×（3+2）=35

∴做一个这样的运动箱要花35×20=700（元）．

答：张大叔购回这张矩形铁皮共花了700元

【点评】题目考查的知识点比较多，但难度不大，同学应注意的是所求问题用到的是长方体的表面积，即表面展开图的面积，并非体积．

16．如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．

（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；

（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】几何图形问题．

【分析】（1）边长为x的正方形面积为x2，矩形面积减去4个小正方形的面积即可．

（2）依据剪去部分的面积等于剩余部分的面积，列方程求出x的值即可．

【解答】解：（1）ab﹣4x2；

（2）依题意有：ab﹣4x2=4x2，

将a=6，b=4，代入上式，得x2=3，

解得x1=，x2=﹣（舍去）．

即正方形的边长为

【点评】本题是利用方程解答几何问题，充分体现了方程的应用性．

依据等量关系“剪去部分的面积等于剩余部分的面积”，建立方程求解．

17．（1）解方程求出两个解x1、x2，并计算两个解的和与积，填人下表

方程

x1

x2

x1+x2

x1?x2

9x2﹣2=0

2x2﹣3x=0

x2﹣3x+2=0

关于x的方程ax2+bx+c=0

（a、b、c为常数，

且a≠0，b2﹣4ac≥0）

（2）观察表格中方程两个解的和、两个解的积与原方程的系数之间的关系有什么规律？写出你的结论．

【考点】根与系数的关系；解一元二次方程﹣直接开平方法；解一元二次方程﹣公式法；解一元二次方程﹣因式分解法．

【专题】压轴题；阅读型．

【分析】（1）能够熟练运用直接开平方法、因式分解法解方程，再进一步求两根之和与两根之积；

（2）根据（1）中的第四行的结论，推广到一般进行总结．

【解答】解：（1）如下表：

（2）已知：x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，

那么，，．

方程

x1

x2

x1+x2

x1?x2

9x2﹣2=0

0

2x2﹣3x=0

0

0

x2﹣3x+2=0

2

1

3

2

关于x的方程ax2+bx+c=0

（a、b、c为常数，

且a≠0，b2﹣4ac≥0）

【点评】熟悉一元二次方程根与系数的关系的猜想过程与证明过程．