高考数学一轮复习专题10.2圆的方程及位置关系练习（含解析）

高考数学一轮复习专题10.2圆的方程及位置关系练习（含解析）本文简介：第2讲圆的方程与位置关系【套路秘籍】---千里之行始于足下一．求圆的方程1．圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆．2．圆的标准方程1若圆的圆心为Ca,b,半径为r，则该圆的标准方程为．2方程表示圆心为Ca,b,半径为r的圆．3．圆的一般方程1任意一个圆的方程都可化为.这个方程就叫做

高考数学一轮复习专题10.2圆的方程及位置关系练习（含解析）本文内容：

第2讲

圆的方程与位置关系

【套路秘籍】---千里之行始于足下

一．求圆的方程

1．圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆．

2．圆的标准方程

1

若圆的圆心为Ca,b,半径为r，则该圆的标准方程为．

2

方程表示圆心为Ca,b,半径为r的圆．

3．圆的一般方程

1任意一个圆的方程都可化为.这个方程就叫做圆的一般方程．

2

对方程.

①若，则方程表示以，为圆心,为半径的圆；

②若，则方程只表示一个点，；

③若，则方程不表示任何图形．

4.点与⊙C的位置关系

1|AC|r?点A在圆外?.

二．圆与圆的位置关系

设两圆的圆心分别为、，圆心距为，半径分别为、.

1两圆相离无公共点；，方程组无解.

2两圆外切有一个公共点；，方程组有一组不同的解.

3两圆相交有两个公共点；，方程组有两组不同的解.

4两圆内切有一公共点；，方程组有一组不同的解.

5两圆内含无公共点；，方程组无解.特别地，时，为两个同心圆.

【修炼套路】---为君聊赋今日诗，努力请从今日始

考向一

圆的方程

【例1】（1）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，3）的圆的方程为

。

（2）求经过点A－2，－4，且与直线lx＋3y－26＝0相切于点B8,6的圆的方程．

【答案】（1）x2（y–3）21

（2）2＋2＝.

【解析】（1）x2（y–3）21由题意，可设圆心坐标为（0，a）．

∵圆的半径为1，∴圆的标准方程为x2（y–a）21，又圆过点（1，3），∴12（3–a）21，解得a3，

∴所求圆的方程为x2（y–3）21．

（2）方法一

设圆心为C，

所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心C，∴kCB＝.

∵圆C与直线l相切，∴kCBkl＝－1，即＝－1.①

又有－22＋－42－2D－4E＋F＝0，②

又82＋62＋8D＋6E＋F＝0.③

联立①②③，可得D＝－11，E＝3，F＝－30，

∴所求圆的方程为x2＋y2－11x＋3y－30＝0.

方法二

设圆的圆心为C，则CB⊥l，

可得CB所在直线的方程为y－6＝3x－8，

即3x－y－18＝0.①

由A－2，－4，B8,6，得AB的中点坐标为3,1．

又kAB＝＝1，∴AB的垂直平分线的方程为y－1＝－x－3，

即x＋y－4＝0.②由①②联立，解得即圆心坐标为.

∴所求圆的半径r＝

＝，

∴所求圆的方程为2＋2＝.

【套路总结】

求圆方程的方法及思路

1.直接法直接求出圆心坐标和半径，写出方程．

2.待定系数法

①若已知条件与圆心a，b和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；

②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．

【举一反三】

1.已知圆C的圆心坐标为2,-3,且点-1,-1在圆上,则圆C的方程为

A．

x2y2-4x6y80

B．

x2y2-4x6y-80

C．

x2y2-4x-6y0

D．

x2y2-4x6y0

【答案】D

【解析】因为圆C的圆心坐标为2,-3,所以设圆C的方程为x-22y32r2，

因为圆过点-1,-1，所以-1-22-132r2∴r213，即x-22y3213，展开得x2y2-4x6y0，选D.

2.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线的距离为，则圆C的方程为__________.

【答案】

【解析】设，则，故圆C的方程为

3.已知圆心为的圆经过点和,且圆心在上,求圆心为的圆的标准方程．

【答案】

【解析】（1）法一（待定系数法）、设圆的标准方程为，则由题意得

.

②－①得④⑤⑥

③－④得，代入④得.

将代入①得.

所以所求圆的标准方程为.

法二、由点斜式可得线段的垂直平分线的方程为.

因为圆心在上，所以线段的垂直平分线与直线的交点就是圆心.

解方程组得，所以圆心为.

圆的半径，

所以所求圆的标准方程为.

4.的三个顶点的坐标是求它的外接圆的方程．

【答案】

考向二

点与圆的位置关系

【例2】．已知点P3,2和圆的方程x－22＋y－32＝4，则它们的位置关系为

。

【答案】圆内。

【解析】将P3,2

代入圆方程得3－22＋2－32＝20截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆Nx－12＋y－12＝1的位置关系是________．

【答案】

相交

【解析】∵圆Mx2＋y－a2＝a2a0，∴圆心坐标为M0，a，半径r1为a，

圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝，由几何知识得2＋2＝a2，解得a＝2.∴M0,2，r1＝2.

又圆N的圆心为N1,1，半径r2＝1，∴MN＝＝，

r1＋r2＝3，r1－r2＝1.∴r1－r20对称，则＋的最小值是________．

【答案】

【解析】由圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0知，其标准方程为x＋22＋y－62＝39，

∵圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0a0，b0对称，

∴该直线经过圆心－2,6，即－2a－6b＋6＝0，∴a＋3b＝3a0，b0，

∴＋＝a＋3b＝≥＝，当且仅当＝，即a＝b时取等号．

12．已知动点Px，y满足x2＋y2－2|x|－2|y|＝0，O为坐标原点，的最大值．

【答案】2.

【解析】

表示曲线上的任意一点x，y到原点的距离．

当x≥0，y≥0时，x2＋y2－2x－2y＝0化为2＋2＝2，

曲线上的点到原点的距离的最大值为2＝2，

当x0，y0时，x2＋y2＋2x＋2y＝0化为2＋2＝2，

曲线上的点到原点的距离的最大值为2＝2，

当x≥0，y0时，x2＋y2－2x＋2y＝0化为2＋2＝2，

曲线上的点到原点的距离的最大值为2＝2，

当x0．

且＝b＋5.

解得b＝1，∴圆N的标准方程为x－62＋y－12＝1.

2∵kOA＝2，∴可设l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0.

又BC＝OA＝＝2.

由题意，圆M的圆心M6,7到直线l的距离为d＝

＝＝2.

即＝2，解得m＝5或m＝－15.

∴直线l的方程为y＝2x＋5或y＝2x－15.

3由＋＝，则四边形AQPT为平行四边形，

又∵P，Q为圆M上的两点，∴PQ≤2r＝10.∴TA＝PQ≤10，即≤10，

解得2－2≤t≤2＋2.故所求t的取值范围为[2－2，2＋2]．

15.已知圆O1x2＋y2－8x－8y＋48＝0，圆O2过点A0，－4．

1若圆O2与圆O1相切于点B2，2，求圆O2的方程；

2若圆O2过点C4,0，圆O1，O2相交于点M，N，且两圆在点M处的切线互相垂直，求直线MN的方程．

【答案】见解析

【解析】1由已知得圆O1的圆心坐标为4，4，

∵圆O2与圆O1相切于点2，2，∴圆O2的圆心在直线y＝x上，不妨设其圆心为a，a，

∵圆O2过点2，2，0，－4，∴a2＋a＋42＝2a－22，

∴a＝0，∴a2＋a＋42＝16，∴圆O2的方程为x2＋y2＝16.

2∵圆O2过点0，－4，4,0，∴圆O2的圆心所在的直线为y＝－x，

不妨设圆心坐标为m，－m，

∵两圆在交点处的切线相互垂直，且圆O1的圆心坐标为4，4，半径为4，

∴m－42＋－m－42＝42＋m2＋－m＋42，

∴m＝－4，∴圆O2的方程为x＋42＋y－42＝80，

圆O1与圆O2的方程相减整理得直线MN的方程为x＋3－2y－12－1＝0.

16.已知动直线l与圆Ox2＋y2＝4相交于A，B两点，且满足AB＝2，点C为直线l上一点，且满足＝，若M是线段AB的中点，则的值_．

【答案】

3

【解析】

动直线l与圆Ox2＋y2＝4相交于A，B两点，且满足AB＝2，则△OAB为等边三角形，于是可设动直线l的方程为y＝x＋2，

根据题意可得B－2,0，A－1，，

∵M是线段AB的中点，∴M

，设Cx，y，

∵＝，∴－2－x，－y＝－1－x，－y，

∴解得

∴C，

∴＝＝＋＝3.

17．已知点Px，y在圆Cx2＋y2－6x－6y＋14＝0上，

1求的最大值和最小值；

2求x＋y的最大值和最小值．

【答案】见解析

【解析】方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可变形为x－32＋y－32＝4，则圆C的半径为2.

1转化为斜率的最值问题求解

表示圆上的点P与原点连线的斜率，显然当POO为原点与圆C相切时，斜率最大或最小，如图所示．

设切线方程为y＝kx，即kx－y＝0，由圆心C3,3到切线的距离等于圆C的半径，

可得＝2，解得k＝.所以的最大值为，最小值为.

2

转化为截距的最值问题求解

设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，显然当动直线y＝－x＋b与圆C相切时，b取得最大值或最小值，如图所示．

由圆心C3,3到切线x＋y＝b的距离等于圆C的半径，可得＝2，

即|b－6|＝2，解得b＝62，

所以x＋y的最大值为6＋2，最小值为6－2.