高考数学总复习典型例题突破（压轴题系列）专题02导数与零点个数

2019年高考数学总复习典型例题突破（压轴题系列）专题02导数与零点个数本文简介：专题02导数与零点个数导数与零点个数，对于考生来讲中等偏难，基本的思路是利用导数分析函数的单调性，确定函数的极值或最值，作出函数的大致图像，再数形结合可求得结果。【题型示例】1、设为实数,函数．(1)求的极值点；(2)如果曲线与轴仅有一个交点,求实数的取值范围．【答案】（1）的极大值点为,极小值点为

2019年高考数学总复习典型例题突破（压轴题系列）专题02导数与零点个数本文内容：

专题02

导数与零点个数

导数与零点个数，对于考生来讲中等偏难，基本的思路是利用导数分析函数的单调性，确定函数的极值或最值，作出函数的大致图像，再数形结合可求得结果。

【题型示例】

1、设为实数,函数．

(1)求的极值点；

(2)如果曲线与轴仅有一个交点,求实数的取值范围．

【答案】

（1）的极大值点为,极小值点为．（2）或．

2、已知函数.

（1）求的极值；

（2）若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点,求实数的取值范围.

【答案】

（1）极大值，无极小值；

（2）.

【解析】

（1）的定义域为,,令得，

当时，，是增函数；

当时，，是减函数，

所以在处取得极大值,无极小值.

（2）①当时，即时，

由（1）知在上是增函数，在上是减函数，

所以，

因为的图象与的图象在上有公共点,所以，解得，又，所以.

②当时，即时，在上是增函数，

所以在上最大值为，

所以原问题等价于,解得.

又，所以此时无解.

综上,实数

的取值范围是.

3、设函数（其中）．

（Ⅰ）求函数的极值；

（Ⅱ）求函数在上的最小值；

（Ⅲ）若，判断函数零点个数．

【答案】

（1）极小值，不存在极大值；

（2）

（3）1个．

【解析】

（Ⅰ）

，

由得，由得，

在单调递增，在单调递减．

极小值，不存在极大值．

（Ⅱ）

由（Ⅰ）知，在单调递增，在单调递减．

当时，在单调递减，单调递增，

∴．

当时，在单调递增，

；

（Ⅲ）由题意

求导得，

由得或，由得

所以在上单调递增，在上单调递减

当时，，

故函数只有一个零点．

4、已知函数

.

（I）若，求的极值；

（II）若，函数有且只有一个零点，求实数的取值范围.

【答案】

（I）的极小值为；（II）或.

【解析】

（I）时，，其中

则得

当时，单调递减，当时，单调递增，

因而的极小值为

；

（II）若有且只有一个零点，即方程在上有且只有一个实数根，

分离参数得，设，则，

又设，，而

因而当时，当时，

那么当时，单调递增，

当时，单调递减，，

又时，且时

从而或，即或时函数有且只有一个零点.

【题型专练】

1、已知函数.

（1）当时，求的极值；

（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.

【答案】

（1）有得极大值，无极小值；（2）.

2、设函数,.关于的方程在区间上有解,求的取值范围;

【答案】的取值范围.

【解析】

方程即为,令,则,∴当时,,随变化情况如表:,,,∴当时,,∴的取值范围.

3、已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若当时（其中），不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）若关于的方程在区间上恰好有两个相异的实根，求实数的取值范围.

【答案】

（1）的单调减区间为，增区间；

（2）；

（3）.

【解析】

∵,所以

(1)∵,令,得：，所以的单调减区间为，增区间；

（2）由（1）知,得，函数在上是连续的，又

所以，当时，的最大值为

故时，若使恒成立，则

（3）原问题可转化为：方程在区间上恰有两个相异实根.

令，则，令，解得：.

当时，在区间上单调递减，

当时，在区间上单调递增.

在和处连续，

又

且当时，的最大值是，的最小值是

∴在区间上方程恰好有两个相异的实根时，实数的取值范围是：

4、设函数,其中为实数.

（1）若在上是单调减函数,且在上有最小值,求的取值范围；

（2）若在上是单调增函数,试求的零点个数,并证明你的结论.

【答案】

（１）；（２）当或时，有个零点，当时,有个零点，证明见解析．

（2）在上恒成立,则,故.

①若,令得增区间为；令得减区间为,当时,；当时,；当时,,当且仅当时取等号.

故:时,有个零点；当时,有个零点.

5、已知函数在处的切线斜率为2.

(1)求的单调区间和极值;

(2)若在上无解,求的取值范围.

【答案】

（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为和.

函数的极小值为，极大值为.

（2）

【解析】

(1)∵，∴，

∴，

令，解得或

当变化时，的变化情况如下表:

∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为和.

∴函数的极小值为，极大值为.

(2)令，

∵在上无解,∴在上恒成立,∵，

记，

∵在上恒成立,∴在上单调递减,∴，

若，则，

∴，

∴单调递减,∴恒成立,若，则，存在，使得，

∴当时，，即，

∴在上单调递增,∵，

∴在上成立,与已知矛盾,故舍去,综上可知，.