版高考数学复习解析几何课时跟踪检测51理新人教A版

2018版高考数学复习解析几何课时跟踪检测51理新人教A版本文简介：课时跟踪检测(五十一)[高考基础题型得分练]1．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为()A.B.C．2D．4答案：A解析：由题意知，a2＝，b2＝1，且a＝2b，∴＝4，∴m＝.2．已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线＋y2＝1的离心率为()A.B.C.或D

2018版高考数学复习解析几何课时跟踪检测51理新人教A版本文内容：

课时跟踪检测(五十一)

[高考基础题型得分练]

1．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为(

)

A.

B.

C．2

D．4

答案：A

解析：由题意知，a2＝，b2＝1，且a＝2b，

∴＝4，∴m＝.

2．已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线＋y2＝1的离心率为(

)

A.

B.

C.或

D.或

答案：C

解析：因为实数4，m,9构成一个等比数列，

所以可得m2＝36，

解得m＝6或m＝－6.

当圆锥曲线为椭圆时，即＋y2＝1的方程为＋y2＝1，

所以a2＝6，b2＝1，则c2＝a2－b2＝5，

所以离心率e＝＝＝.

当曲线是双曲线时，可求得离心率为.

3．[2017·河北邯郸一模]椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，如果线段PF2的中点在y轴上，那么|PF2|是|PF1|的(

)

A．7倍

B．5倍

C．4倍

D．3倍

答案：A

解析：设线段PF2的中点为D，

则|OD|＝|PF1|且OD∥PF1，OD⊥x轴，

∴PF1⊥x轴．∴|PF1|＝＝＝.

又∵|PF1|＋|PF2|＝4，

∴|PF2|＝4－＝.

∴|PF2|是|PF1|的7倍．

4．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2.若点P是椭圆C上的动点，则·的最大值为(

)

A.

B.

C.

D.

答案：B

解析：设向量，的夹角为θ.

由条件知，|AF2|为椭圆通径的一半，即|AF2|＝＝，则·＝||cos

θ，

于是·要取得最大值，

只需在上的投影值最大，

易知此时点P为椭圆短轴的上顶点，

所以·＝×||cos

θ≤.故选B.

5．[2017·陕西西安质量检测]已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则椭圆C的方程是(

)

A.＋＝1

B.＋＝1

C.＋＝1

D.＋y2＝1

答案：C

解析：依题意，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c＝1，e＝＝?a＝2，b2＝a2－c2＝3，

因此椭圆C的方程是＋＝1，故选C.

6．[2017·甘肃兰州诊断]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，若椭圆C的中心到直线AB的距离为|F1F2|，则椭圆C的离心率e＝(

)

A.

B.

C.

D.

答案：A

解析：设椭圆C的焦距为2c(c0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为________．

答案：＋＝1

解析：抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，

∴m2－n2＝4，①

e＝＝，∴m＝4，

代入①得，n2＝12，

∴椭圆的方程为＋＝1.

9．[2017·湖南长沙一模]椭圆Г：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．

答案：－1

解析：依题意得∠MF1F2＝60°，

∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°，

设|MF1|＝m，则有|MF2|＝m，|F1F2|＝2m，

该椭圆的离心率是e＝＝－1.

10．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－2,0)，离心率为.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设O为坐标原点，T为直线x＝－3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．

解：(1)由已知可得，＝，c＝2，

所以a＝.

又由a2＝b2＋c2，解得b＝，

所以椭圆C的标准方程是＋＝1.

(2)设点T的坐标为(－3，m)，

则直线TF的斜率kTF＝＝－m.

当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝，

直线PQ的方程是x＝my－2.

当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，

也符合x＝my－2的形式．

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得

消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，

其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)＞0.

所以y1＋y2＝，y1y2＝，

x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝.

因为四边形OPTQ是平行四边形，所以＝，

即(x1，y1)＝(－3－x2，m－y2)．

所以

解得m＝±1.

此时，S四边形OPTQ＝2S△OPQ＝2×·|OF||y1－y2|

＝2＝2.

[冲刺名校能力提升练]

1．[2017·广东汕头一模]已知椭圆＋＝1上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有(

)

A．3个

B．4个

C．6个

D．8个

答案：C

解析：当∠PF1F2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P有2个；同理当∠PF2F1为直角时，这样的点P有2个；当点P为椭圆的短轴端点时，∠F1PF2最大，且为直角，此时这样的点P有2个．故符合要求的点P有6个．

2.[2017·河北唐山模拟]椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，若F关于直线x＋y＝0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为(

)

A.

B.

C.

D.－1

答案：D

解析：解法一：设A(m，n)，则

解得A，

代入椭圆C中，有＋＝1，

∴b2c2＋3a2c2＝4a2b2，

∴(a2－c2)c2＋3a2c2＝4a2(a2－c2)，

∴c4－8a2c2＋4a4＝0，

∴e4－8e2＋4＝0，

∴e2＝4±2，

∵0b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.

答案：3

解析：设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则

∴2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2，

又∵S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，∴b＝3.

4．[2017·河北保定一模]与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________．

答案：＋＝1

解析：设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，

则有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9－r.

所以|PC1|＋|PC2|＝10＞|C1C2|，

即P在以C1(－3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P的轨迹方程为＋＝1.

5．已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1和F2，且|F1F2|＝2，点在该椭圆上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．

解：(1)由题意知c＝1,2a＝＋＝4，

解得a＝2，故椭圆C的方程为＋＝1.

(2)①当直线l⊥x轴时，

可取A，B，△AF2B的面积为3，不符合题意．

②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，代入椭圆方程得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，

显然Δ>0成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝－，x1x2＝，

可得|AB|＝·

＝，

又圆F2的半径r＝，

∴△AF2B的面积为|AB|·r＝＝，化简得17k4＋k2－18＝0，解得k＝±1，

∴r＝，圆的方程为(x－1)2＋y2＝2.

6．[2016·浙江卷]如图，设椭圆＋y2＝1(a>1)．

(1)求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；

(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．

解：(1)设直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段为AP，

由得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0，

故x1＝0，x2＝－.

因此|AP|＝|x1－x2|

＝·.

(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|＝|AQ|.

记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k2>0，k1≠k2.

由(1)知，|AP|＝，

|AQ|＝，

故＝

所以(k－k)[1＋k＋k＋a2(2－a2)kk]＝0.

由于k1≠k2，k1，k2>0得

1＋k＋k＋a2(2－a2)kk＝0，

因此＝1＋a2(a2－2)，①

因为①式关于k1，k2的方程有解的充要条件是

1＋a2(a2－2)>1,所以a>.

因此，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1

由e＝＝得，

所求离心率的取值范围为.