弹性表达式
律政先锋-
精选回答
弹性势能的表达式是如何推导出来的?
从推导的角度来看,根据胡克定律,F = kx,这是一个线性函数,做一次积分,就得到了弹性势能的表达式 E = kx^2/2,得到一个二次函数,所以从推导的角度来看这是非常简单的。
不过,其实没有必要把这种表达式看成是「推导出来的」,因为胡克定律本身只是一个经验定律,在经验定律的基础上做「推导」,最后还是得到经验定律。
与其如此,不如将他看成是一个很自然的约定。
假如有一个很复杂的势函数,我们总可以用泰勒公式,在某一点附近将它不断展开,例如,下图展示了将正弦函数展开到一阶、三阶、五阶时的曲线图像,可以看到,展开的阶数越高,得到的函数就越接近原有的函数。
那么类似的,对于弹性势能的表达式,我们不知道它具体的形式应该是怎样的,但是我们还是可以对它来作展开,于是我们可以得到零阶项,一阶项,二阶项……把所有的项加起来,那么不管弹性势能的表达式有多复杂,它就都应该是可以描述的。
不过,仔细来想想看,弹性势能的表达式里,零阶项是什么意思呢?零阶项其实就是零势能点的选取,例如我可以选择地面为零势能点,也可以选择高楼顶端为零势能点。
既然如此,所以零阶项是不存在的。
然后来看一阶项,如果有一阶项,就说明在零势能点附近,系统没有达到平衡,因为这个一阶项会驱动例子朝着降低势能的方向运动,对于弹簧这样的例子,在没有外力的情况下,它有一个平衡位置,所以这时候,它应该不存在一阶项。
没有了零阶项和一阶项,剩下二阶项,我们也就得到了弹性势能的表达式,在这个表达式里,二阶项的系数就是弹性系数,如果考虑非线性的弹簧,那么还可能会有一些更高阶的项。
漂流 2023-09-04 13:26:28
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