求矩阵的迹要化成上三角吗
不需要。对矩阵进行初等变换时,特征值也发生了变化,所以化出来的上三角矩阵的特征值一般不是原矩阵的特征值。在线性代数中,一个n×n矩阵A的主对角线(从左上方至右下方的对角线)上各个元素的总和被称为矩阵A的迹(或迹数),一般记作tr(A)。
求证上三角正规矩阵一定是对角阵
因为阶梯型矩阵的每行的第一个非零元的列号应该是依次递增的。
0 1 0
0 2 0
0 0 1
是上三角矩阵,但不是阶梯型矩阵,因为前两行的非零元的列号都为2
0 0 0
0 1 0
0 0 2
是对角矩阵,但零行在上面的确不一定是
矩阵的迹性质
1.迹是所有主对角元素的和
2.迹是所有特征值的和
3.某些时候也利用tr(AB)=tr(BA)来求迹
4.tr(mA+nB)=m tr(A)+n tr(B)
(2)奇异值分解(Singular value decomposition )
奇异值分解非常有用,对于矩阵A(p*q),存在U(p*p),V(q*q),B(p*q)(由对角阵与增广行或列组成),满足A = U*B*V
U和V中分别是A的奇异向量,而B是A的奇异值。AA的特征向量组成U,特征值组成BB,AA的特征向量组成V,特征值(与AA相同)组成BB因此,奇异值分解和特征值问题紧密联系。
如果A是复矩阵,B中的奇异值仍然是实数。
SVD提供了一些关于A的信息,例如非零奇异值的数目(B的阶数)和A的阶数相同,一旦阶数确定,那么U的前k列构成了A的列向量空间的正交基。
(3)在数值分析中,由于数值计算误差,测量误差,噪声以及病态矩阵,零奇异值通常显示为很小的数目。
![](http://yyk.iask.sina.com.cn/pic/fimg/160992427476568984931.jpg)