大学容易挂科吗,感觉高数好难
自飘林
精选回答
解:分享一种解法。
将积分区间[0,2π]拆成[0,π/2)∪[π/2,π)∪[π,3π/2)∪[3π/2,2π),则 ∫(0,2π)dx/(2+sinx)=∫(0,π/2)dx/(2+sinx)+∫(π/2,π)dx/(2+sinx)+∫(π,3π/2)dx/(2+sinx)+∫(3π/2,2π)dx/(2+sinx),对后三个积分,分别设x=t+π/2、t+π、t+3π/2,则
∴∫(0,2π)dx/(2+sinx)=4∫(0,π/2)dx/[4-(sinx)^2]+4∫(0,π/)dx/[4-(cosx)^2]。
而∫(0,π/2)dx/[4-(sinx)^2]=∫(0,π/2)d(tanx)/[4+3(tanx)^2]=[1/(2√3)]arctan[(2/√3)tanx]丨(x=0,π/2)=π/(4√3),同理,∫(0,π/2)dx/[4-(cosx)^2]=π/(4√3)。
∴(0,2π)dx/(2+sinx)=2π/(√3)。
【另外,亦可设z=e^(ix),转换成复变函数,利用留数定理求解,且较“简捷”】供参考。
等我变优秀 2023-09-05 12:38:32
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