届高三数学复习不等式第四节基本不等式及其应用夯基提能作业本文

2018届高三数学复习不等式第四节基本不等式及其应用夯基提能作业本文本文简介：第四节基本不等式及其应用A组基础题组1.(2016海南调研)已知a,b∈(0,+∞),且a+b=1,则ab的最大值为()A.1B.14C.12D.222.当x>0时,函数f(x)=2xx2+1有()A.最小值1B.最大值1C.最小值2D.最大值23.(3-a)(a+6)(-6≤a≤3)的最大值为()

2018届高三数学复习不等式第四节基本不等式及其应用夯基提能作业本文本文内容：

第四节

基本不等式及其应用

A组

基础题组

1.(2016海南调研)已知a,b∈(0,+∞),且a+b=1,则ab的最大值为(

)

A.1B.14C.12D.22

2.当x>0时,函数f(x)=2xx2+1有(

)

A.最小值1B.最大值1C.最小值2D.最大值2

3.(3-a)(a+6)(-6≤a≤3)的最大值为(

)

A.9B.92C.3D.322

4.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是(

)

A.[0,2]B.[-2,0]

C.[-2,+∞)D.(-∞,-2]

5.(2016宁夏银川模拟)若直线2ax+by-2=0(a>0,b>0)平分圆x2+y2-2x-4y-6=0,则2a+1b的最小值是(

)

A.2-2

B.2-1C.3+22

D.3-22

6.已知函数f(x)=4x+ax(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a=

.

7.已知a>0,b>0,a+2b=3,则2a+1b的最小值为

.

8.若实数a,b满足1a+2b=ab,则ab的最小值为

.

9.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求

(1)xy的最小值;

(2)x+y的最小值.

10.某厂家拟在2017年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=3-km+1(k为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件.已知2017年生产该产品的固定投入为8万元,每生产一万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).

(1)将2017年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数;

(2)该厂家2017年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?

B组

提升题组

11.(2016东北育才学校模拟)设=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0)(a>0,b>0,O为坐标原点),若A,B,C三点共线,则2a+的最小值是(

)

A.4B.92C.8D.9

12.(2016安徽铜陵二模)已知a>-1,b>-2,(a+1)(b+2)=16,则a+b的最小值是(

)

A.4B.5C.6D.7

13.若两个正实数x,y满足1x+4y=1,且不等式x+y40,y>0时,x?y+(2y)?x的最小值为

.

16.已知x,y∈R且满足x2+2xy+4y2=6,则

z=x2+4y2的取值范围为

.

17.某造纸厂拟建一座底面形状为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示),如果池四周的围墙建造单价为400元/米,中间两道隔墙建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/平方米,水池所有墙的厚度忽略不计.

(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价;

(2)若由于地形限制,该水池的长和宽都不能超过16米,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.

答案全解全析

A组

基础题组

1.B

∵a,b∈(0,+∞),∴1=a+b≥2ab,∴ab≤14,当且仅当a=b=12时等号成立.

2.B

∵x>0,∴f(x)=2x+1x≤=1.

当且仅当x=1x,即x=1时取等号.

所以f(x)有最大值1.

3.B

因为-6≤a≤3,所以3-a≥0,a+6≥0,则由基本不等式可知,(3-a)(a+6)≤(3-a)+(a+6)2=92,当且仅当a=-32时等号成立.

4.D

∵1=2x+2y≥2=22x+y(当且仅当2x=2y时等号成立),∴2x+y≤12,∴2x+y≤14,∴x+y≤-2.

5.C

易知圆心为(1,2),由题意知圆心(1,2)在直线2ax+by-2=0上,∴a+b=1,∴2a+1b=2a+1b(a+b)

=3+2ba+ab≥3+22.当且仅当=ab,即a=2-2,b=2-1时等号成立.

6.答案

36

解析

∵x>0,a>0,∴f(x)=4x+ax≥2=4a,当且仅当4x=ax,即a=4x2时取等号,则由题意知a=4×32=36.

7.答案

83

解析

由a+2b=3得13a+23b=1,又a>0,b>0,∴2a+1b=13a+23b2a+1b

=43+a3b+4b3a≥43+2a3b路4b3a=83.

当且仅当a=2b=32时取等号.

8.答案

22

解析

由1a+2b=ab,知a>0,b>0,所以ab=1a+2b≥22ab,即ab≥22,当且仅当1a=2b,1a+2b=ab,即a=42,b=242时取“=”,所以ab的最小值为22.

9.解析

(1)由2x+8y-xy=0,得8x+2y=1.

又x>0,y>0,所以1=8x+2y≥2=8xy,得xy≥***,当且仅当x=16,y=4时,等号成立.

所以xy的最小值为***.

(2)由2x+8y-xy=0,得8x+2y=1,则x+y=8x+2y·(x+y)=10+2xy+8yx≥10+22xy路8yx=18.

当且仅当x=12且y=6时等号成立,所以x+y的最小值为18.

10.解析

(1)由题意知,当m=0时,x=1,∴1=3-k?k=2,∴x=3-2m+1,每件产品的销售价格为1.5×8+16xx(元),∴y=1.5x×8+16xx-8-16x-m

=-16m+1+(m+1)+29(m≥0).

(2)∵m≥0时,16m+1+(m+1)≥216=8,当且仅当16m+1=m+1,即m=3时,取等号,∴y≤-8+29=21.

故该厂家2017年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大.

B组

提升题组

11.D

∵=-=(a-1,1),=-=(-b-1,2),若A,B,C三点共线,则有∥,∴(a-1)×2-1×(-b-1)=0,∴2a+b=1,又a>0,b>0,∴2a+1b=2a+1b·(2a+b)

=5+2ba+2ab≥5+22ba路2ab=9,当且仅当2ba=2ab,2a+b=1,即a=b=13时等号成立.

12.B

因为a>-1,b>-2,所以a+1>0,b+2>0,又(a+1)·(b+2)≤a+1+b+222,即16≤a+b+322,则a+b≥5,当且仅当a+1=b+2,即a=3,b=2时等号成立,故选B.

13.B

∵不等式x+y40,y>0,且1x+4y=1,∴x+y4=x+y41x+4y=4xy+y4x+2≥2+2=4,当且仅当4xy=y4x,即x=2,y=8时取等号,∴x+y4min=4,故m2-3m>4,解得m4.∴实数m的取值范围是(-∞,-1)∪(4,+∞),故选B.

14.B

由x2-3xy+4y2-z=0,得z=x2-3xy+4y2,∴xyz=xyx2-3xy+4y2=1xy+4yx-3.

又x、y为正实数,∴xy+4yx≥4,当且仅当x=2y时取等号,此时xyz有最大值,z=2y2.

∴2x+1y-2z=22y+1y-22y2=-1y2+2y=-1y-12+1,当1y=1,即y=1时,上式有最大值1,故选B.

15.答案

2

解析

x?y+(2y)?x=x2-y2xy+4y2-x22yx=2x2-2y2+4y2-x22xy=x2+2y22xy=x2y+yx,∵x>0,y>0,∴x2y+yx≥212=2,当且仅当x2y=yx,即x=2y时等号成立,故所求的最小值为2.

16.答案

[4,12]

解析

∵2xy=6-(x2+4y2),又2xy≤x2+4y22,∴6-(x2+4y2)≤x2+4y22,∴x2+4y2≥4(当且仅当x=2y时取等号).又∵(x+2y)2=6+2xy≥0,即2xy≥-6,∴z=x2+4y2=6-2xy≤12(当且仅当x=-2y时取等号).综上可知4≤x2+4y2≤12.即z=x2+4y2的取值范围为[4,12].

17.解析

(1)设总造价为f(x)元,污水处理池的宽为x米,则长为162x米.

总造价f(x)=400×2x+2脳162x+248×2x+80×162=1

296x++12

960

=1

296脳x+100x+12

960元,∵x>0,∴f(x)≥1

296×2+12

960=38

880,当且仅当x=100x,即x=10时取等号.

∴当污水处理池的长为16.2米,宽为10米时总造价最低,最低总造价为38

880元.

(2)由限制条件知∴818≤x≤16.

设g(x)=x+,则g

(x)=1-100x2,因为g

(x)=1-100x2在上恒大于零,故g(x)在818,16上是增函数,∴当x=818时,g(x)取最小值,即f(x)取最小值,为1

296×818+80081+12

960=38

882.

∴当污水处理池的长为16米,宽为818米时总造价最低,最低总造价为38

882元.