正定矩阵一定是实对称矩阵吗
淡漠安然
精选回答
正定矩阵不一定是实对称矩阵。正定矩阵在实数域上是对称矩阵。在复数域上是厄米特矩阵,也称共轭对称。因为正定矩阵在定义的时候就是要在厄米特矩阵的域内,实数域上是对称矩阵。如果一个矩阵A是正定的,那么对称矩阵B=(A+A^T)/2也是正定的,这是判定一个实系数矩阵是否为正定矩阵的充要条件。
如果只是大学做题或者考研的话只讨论实数域,正定矩阵本来就是正定二次型引出的,它是与正定二次型一起存在的一个定义,所以正定矩阵的大前提一定是对称的,证明一个矩阵是否正定,第一应该先证明这个矩阵是否对称。
在线性代数里,正定矩阵有时会简称为正定阵。在线性代数中,正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式,复域中则对应埃尔米特正定双线性形式。
求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数,则A是正定的;若A的特征值均为负数,则A为负定的。
半步沧桑 2024-01-10 12:47:46
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