高考数学深化复习+命题热点提分专题10数列等差数列﹑等比数列文

2017年高考数学深化复习+命题热点提分专题10数列等差数列﹑等比数列文本文简介：专题10数列、等差数列﹑等比数列1．在数列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a＋a＋…＋a等于()A．(2n－1)2B.C．4n－1D.【答案】：D【解析】：设Sn为{an}的前n项和，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝2n－1，当n≥2时，Sn－1＝2n－1－1，an＝2n－1－(2n－

2017年高考数学深化复习+命题热点提分专题10数列等差数列﹑等比数列文本文内容：

专题10

数列、等差数列﹑等比数列

1．在数列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a＋a＋…＋a等于(

)

A．(2n－1)2

B.

C．4n－1

D.

【答案】：D

【解析】：设Sn为{an}的前n项和，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝2n－1，当n≥2时，Sn－1＝2n－1－1，an＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，a＝4n－1，当n＝1时，a1＝1也符合上式，所以a＋a＋…＋a＝＝.

2．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则＝(

)

A．1＋

B．1－

C．3＋2

D．3－2

【答案】：C

【解析】：

3．设等比数列{an}的前6项和S6＝6，且1－为a1，a3的等差中项，则a7＋a8＋a9＝(

)

A．－2

B．8

C．10

D．14

【答案】：B

【解析】：依题意得a1＋a3＝2－a2，即S3＝a1＋a2＋a3＝2，数列S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，即数列2,4，S9－6成等比数列，于是有S9－S6＝8，即a7＋a8＋a9＝8，选B.

4．已知数列{an}的首项a1＝2，数列{bn}为等比数列，且bn＝，若b10b11＝2，则a21＝(

)

A．29

B．210

C．211

D．212

【答案】：C

【解析】：由bn＝，且a1＝2，得b1＝＝，a2＝2b1；b2＝，a3＝a2b2＝2b1b2；b3＝，a4＝a3b3＝2b1b2b3；…；an＝2b1b2b3…bn－1，∴a21＝2b1b2b3…b20，又{bn}为等比数列，∴a21＝2(b1b20)(b2b19)…(b10b11)＝2(b10b11)10＝211.

5．已知Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于(

)

A．4

B．6

C．8

D．10

【答案】：C

【解析】：设数列{an}的公差为d，则S1＝a1，S2＝2a1＋d，S4＝4a1＋6d，故(2a1＋d)2＝a1(4a1＋6d)，整理得d＝2a1，所以＝＝＝8，选C.

6．在数列{an}中，若a1＝2，且对任意正整数m，k，总有am＋k＝am＋ak，则{an}的前n项和Sn＝(

)

A．n(3n－1)

B.

C．n(n＋1)

D.

【答案】：C

【解析】：依题意得an＋1＝an＋a1，即有an＋1－an＝a1＝2，所以数列{an}是以2为首项、2为公差的等差数列，an＝2＋2(n－1)＝2n，Sn＝＝n(n＋1)，选C.

7.在等差数列{an}中，a1＋3a3＋a15＝10，则a5的值为(

)

A.2

B.3

C.4

D.5

【答案】

A

8.等比数列{an}的前n项和为Sn，若2S4＝S5＋S6，则数列{an}的公比q的值为(

)

A.－2或1

B.－1或2C.－2

D.1

【答案】

C

【解析】

法一

若q＝1，则S4＝4a1，S5＝5a1，S6＝6a1，

显然不满足2S4＝S5＋S6，故A、D错.

若q＝－1，则S4＝S6＝0，S5＝a5≠0，

不满足条件，故B错，因此选C.

法二

经检验q＝1不适合，

则由2S4＝S5＋S6，

得2(1－q4)＝1－q5＋1－q6，化简得

q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)，q＝－2.

9.已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为(

)

A.－110

B.－90

C.90

D.110

【答案】

D

10.等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn等于(

)

A.n(n＋1)

B.n(n－1)

C.

D.

【答案】

A

【解析】

由a2，a4，a8成等比数列，得a＝a2a8，

即(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋14)，∴a1＝2.

∴Sn＝2n＋×2＝2n＋n2－n＝n(n＋1).

11.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是(

)

A.2

B.3

C.4

D.5

【答案】

D

【解析】

由等差数列的前n项和及等差中项，

可得＝

＝＝

＝＝

＝＝7＋

(n∈N*)，

故n＝1,2,3,5,11时，为整数.

即正整数n的个数是5.

12.若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大.

【答案】

8

【解析】

根据题意知a7＋a8＋a9＝3a8＞0，即a8＞0.又a8＋a9＝a7＋a10＜0，∴a9＜0，∴当n＝8时，{an}的前n项和最大.

13.在等比数列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15＝________.

【答案】

3

14.设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1

(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.

【答案】

.－9

【解析】

由题意知，数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23，19,37,82}中，说明{an}有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中，由于{an}中连续四项至少有一项为负，∴q1，∴{an}的连续四项为－24,36，－54，81，∴q＝＝－，∴6q＝－9.

15.公差不为0的等差数列{an}的部分项ak1，ak2，ak3，…构成等比数列，且k1＝1，k2＝2，k3＝6，则k4＝________.

【答案】

22

【解析】

根据题意可知等差数列的a1，a2，a6项成等比数列，设等差数列的公差为d，则有(a1＋d)2＝a1(a1＋5d)，解得d＝3a1，故a2＝4a1，a6＝16a1?ak4＝a1＋(n－1)·(3a1)＝***a1，解得n＝22，即k4＝22.

16.设函数f(x)＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋anxn－1，f(0)＝，数列{an}满足f(1)＝n2an(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________.

【答案】

an＝

17.若f(n)为n2＋1(n∈N*)的各位数字之和，如62＋1＝37，f(6)＝3＋7＝10，f1(n)＝f(n)，f2(n)＝f(f1(n))，…，fk＋1(n)＝f(fk(n))，k∈N*，则f2016(4)＝________.

【答案】

5

【解析】

因为42＋1＝17，f(4)＝1＋7＝8，

则f1(4)＝f(4)＝8，f2(4)＝f(f1(4))＝f(8)＝11，

f3(4)＝f(f2(4))＝f(11)＝5，

f4(4)＝f(f3(4))＝f(5)＝8，…，

所以fk＋1(n)＝f(fk(n))为周期数列.

可得f2016(4)＝5.

18.数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋5，则an＝__________.

【答案】

an＝

【解析】

∵a1＋a2＋…＋an＝2n＋5.①

∴a1＋a2＋…＋an－1＝2(n－1)＋5.②

由①－②得an＝2，∴an＝2n＋1

(n≥2).

又∵a1＝2＋5，∴a1＝14.

∴an＝

19.对于正项数列{an}，定义Hn＝为{an}的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为Hn＝，则数列{an}的通项公式为________.

【答案】

an＝

20.已知数列{an}满足a1＝且an＋1＝an－a(n∈N*).

(1)

证明：1≤≤2(n∈N*)；

(2)设数列{a}的前n项和为Sn，证明：≤≤(n∈N*).

【解析】证明

(1)由题意得an＋1－an＝－a≤0，即an＋1≤an，故an≤.

由an＝(1－an－1)an－1得

an＝(1－an－1)(1－an－2)…(1－a1)a1＞0.

由0＜an≤得

＝＝∈(1,2]，

即1≤≤2成立.

(2)由题意得a＝an－an＋1，

所以Sn＝a1－an＋1，①

由－＝和1≤≤2得

1≤－≤2，

所以n≤－≤2n，

因此≤an＋1≤(n∈N*).②

由①②得≤≤(n∈N*).

21.已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列.

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；

(2)求数列{bn}的前n项和.

22.成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.

(1)求数列{bn}的通项公式；

(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列是等比数列.

【解析】(1)解

设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.

依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15.

23．在公差不为零的等差数列{an}中，已知a1＝1，且a1，a2，a5依次成等比数列．数列{bn}满足bn＋1＝2bn－1，且b1＝3.

(1)求{an}，{bn}的通项公式；

(2)设数列的前n项和为Sn，试比较Sn与1－的大小．

【解析】：(1)设数列{an}的公差为d.

因为a1＝1，且a1，a2，a5依次成等比数列，

所以a＝a1·a5，即(1＋d)2＝1·(1＋4d)，

所以d2－2d＝0，解得d＝2(d＝0不合要求，舍去)．

所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.

因为bn＋1＝2bn－1，所以bn＋1－1＝2(bn－1)．

所以{bn－1}是首项为b1－1＝2，公比为2的等比数列．

所以bn－1＝2×2n－1＝2n.

所以bn＝2n＋1.