届高考数学二轮复习专题一函数第1讲函数的图象与性质学案

2019届高考数学二轮复习专题一函数第1讲函数的图象与性质学案本文简介：第1讲函数的图象与性质1.函数的图象与性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查，既有具体函数也有抽象函数．2.函数的图象与性质会涉及如下题型

2019届高考数学二轮复习专题一函数第1讲函数的图象与性质学案本文内容：

第1讲

函数的图象与性质

1.

函数的图象与性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查，既有具体函数也有抽象函数．

2.

函数的图象与性质会涉及如下题型：(1)

函数“二域三性”的考查；(2)

函数性质在解决不等式问题中的应用；(3)

函数与方程问题；(4)

函数性质在数列等问题中的应用；(5)

利用导数来刻画函数的性质．

1.

已知函数f(x)在区间(－2，3)上是增函数，则y＝f(x＋5)的一个递增区间是________．

答案：(－7，－2)

解析：令－2＜x＋5＜3，解得－7＜x＜－2.

2.

已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是________．

答案：[0，4]

解析：由题意可知函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝2(如图)，若f(a)≥f(0)，从图象观察可知0≤a≤4.

3.

若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为____________．

答案：g(x)＝3x2－2x

解析：设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，因为g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，所以解得所以g(x)＝3x2－2x.

4.

(2018·南京学情调研)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(－∞，0]上为单调增函数．若f(－1)＝－2，则满足f(2x－3)≤2的x的取值范围是________．

答案：(－∞，2]

解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，且在(－∞，0]上为单调增函数，所以f(x)在R上为单调增函数．因为f(－1)＝－2，所以f(1)＝2，故f(2x－3)≤2＝f(1)，即2x－3≤1，解得x≤2.,一)

研究函数的单调性,1)

已知函数f(x)＝a－.

(1)

求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；

(2)

若f(x)0，

f(x2)－f(x1)＝(a－)－(a－)＝－＝>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

(2)

解：由题意得a－0，

所以h(x1)2，所以a的取值范围为(2，＋∞)．,二)

研究函数的最值,2)

函数f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0，2]上有最小值3，求a的值．

解：

f(x)＝4－2a＋2，

①

当≤0，即a≤0时，函数f(x)在[0，2]上是增函数．

所以f(x)min＝f(0)＝a2－2a＋2.

由a2－2a＋2＝3，得a＝1±.

因为a≤0，所以a＝1－.

②

当00时，设f(x)＝a(x－1)·(x－3)(a≠0)，

因为f(2)＝1，所以a＝－1，所以f(x)＝－x2＋4x－3.

当x0，因为f(x)为R上的奇函数，

所以f(－x)＝－f(x)，

所以f(x)＝－f(－x)＝－[－(－x)2＋4(－x)－3]＝x2＋4x＋3，

即当x2，所以f(2x－1)－1＋f(4－x2)－1>0，即g(2x－1)＋g(4－x2)>0，解得g(2x－1)>g(x2－4)，即2x－1>x2－4，解得x∈(－1，3)．

1.

(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________．

答案：12

解析：因为函数f(x)为奇函数，所以f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.

2.

(2018·江苏卷)函数f(x)＝的定义域为________．

答案：[2，＋∞)

解析：

由解得x≥2，即x∈[2，＋∞)．

3.

(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝________．

答案：2

解析：∵

f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)，∴

f(x)是周期为4的函数，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(0)＋f(－1)＋f(0)＝0，∴

f(1)＋f(2)＋…＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(0)＝2.

4.

(2017·天津卷)已知函数f(x)＝设a∈R，若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立，则a的取值范围是________．

答案：[－2，2]

解析：(解法1)由题意可知，函数y＝f(x)的图象恒不在函数y＝的图象下方，画出函数y＝f(x)和函数y＝的图象，如图所示．

当a＝0时，显然f(x)>；当a－2a部分的图象经过点(0，2)或与函数y＝f(x)在x>1部分的图象相切时，a取得最大值，而经过点(0，2)时，a＝2，当函数y＝在x>－2a部分的图象与函数y＝f(x)在x>1部分的图象相切时，设切点为P(x0，y0)(x0>1)，因为x>1时，f′(x)＝1－，则1－＝，解得x0＝2，所以y0＝3.又点P(2，3)在函数y＝在x>－2a部分的图象上，所以＝3，解得a＝2，因此a的最大值为2.综上所述，a的取值范围是[－2，2]．

(解法2)不等式f(x)≥可转化为－f(x)≤＋a≤f(x)，当x<1时，有－|x|－2≤＋a≤|x|＋2，即－|x|－2－≤a≤|x|＋2－.因为当x<0时，－|x|－2－＝－22，当0≤x<1时，－|x|－2－＝－－2≤－2，|x|＋2－＝＋2≥2，所以－2≤a≤2；当x≥1时，有－x－≤＋a≤x＋，即－－≤a≤＋.又－－≤－2，＋≥2，所以－2≤a≤2.综上，a的取值范围是[－2，2]．

5.

(2016·浙江卷)已知函数g(x)＝ax2－2ax＋b(a＞0)在区间[1，3]上有最大值5，最小值1.设f(x)＝.

(1)

求a，b的值；

(2)

若f(|lg

x－1|)＋k·－3k≥1对任意x∈[1，10)∪(10，100]恒成立，求k的取值范围．

解：(1)

g(x)＝a(x－1)2＋b－a，

因为a＞0，所以g(x)在区间[1，3]上是增函数，

故解得

(2)

由已知和(1)可得f(x)＝x＋－2，

f(|lg

x－1|)＋k·－3k≥1，

即|lg

x－1|＋－2＋－3k≥1.

令t＝|lg

x－1|，则t∈(0，1]，t＋－3k－3≥0对任意t∈(0，1]恒成立．

令h(t)＝t＋－3k－3，t∈(0，1]，则

①

当k＝－1时，h(t)＝t≥0成立；

②

当k＜－1时，h(t)＝t＋－3k－3在(0，1]上为增函数，t→0时，h(t)→－∞，舍去；

③

当k＞－1时，h(t)在(0，]上为减函数，在(，＋∞)上为增函数，

若＜1，即－1＜k＜－时，h(t)min＝h()＝2－3k－3≥0，得－1≤k≤－，即－1＜k＜－；

若≥1，即k≥－时，h(t)在(0，1]上为减函数，h(t)min＝h(1)＝－k≥0，即－≤k≤0.

综上，k的取值范围是[－1，0]．

(本题模拟高考评分标准，满分16分)

已知函数f(x)＝＋.

(1)

求函数f(x)的定义域和值域；

(2)

设F(x)＝·(f2(x)－2)＋f(x)(a为实数)，求F(x)在a<0时的最大值g(a)；

(3)

对(2)中g(a)，若－m2＋2tm＋≤g(a)对a<0时所有的实数a及t∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

解：(1)

由1＋x≥0且1－x≥0，得－1≤x≤1，所以函数f(x)的定义域为[－1，1]．(2分)

又f2(x)＝2＋2∈[2，4]，由f(x)≥0得值域为[，2]．(4分)

(2)

令t＝f(x)＝＋，则＝t2－1，

所以F(x)＝m(t)＝a(t2－1)＋t＝at2＋t－a，t∈[，2]．(6分)

由题意知g(a)即为函数m(t)＝at2＋t－a，t∈[，2]的最大值．

注意到直线t＝－是抛物线m(t)＝at2＋t－a的对称轴．

因为a<0时，函数y＝m(t)，t∈[，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，

①

若t＝－∈(0，]，即a≤－，则g(a)＝m()＝.(7分)

②

若t＝－∈(，2]，即－

③

若t＝－∈(2，＋∞)，即－

综上，有g(a)＝(10分)

(3)

易得g(a)min＝，(11分)

由－m2＋2tm＋≤g(a)对a<0恒成立，

即要使－m2＋2tm＋≤g(a)min＝恒成立?m2－2tm≥0，

令h(t)＝－2mt＋m2，对所有的t∈[－1，1]，h(t)≥0成立，

只需(14分)

求出m的取值范围是(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．(16分)

1.

设函数y＝f(x＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1，0)，则不等式(x－1)f(x)≤0的解集为________．

答案：{x|x≤0或1

解析：函数y＝f(x＋1)的图象向右平移1个单位长度得到y＝f(x)的图象，由已知可得f(x)的图象的对称轴为x＝1，过定点(2，0)，且函数在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，则f(x)的大致图象如图所示．

不等式(x－1)f(x)≤0可化为或

由图可知符合条件的解集为{x|x≤0或1

2.

已知函数f(x)＝2x－的定义域为(0，1](a为实数)．

(1)

当a＝1时，求函数y＝f(x)的值域；

(2)

求函数y＝f(x)在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数f(x)取得最值时x的值．

解：(1)

当a＝1时，f(x)＝2x－，任取1≥x1＞x2＞0，

则f(x1)－f(x2)＝2(x1－x2)－(－)＝(x1－x2)(2＋)．

∵

1≥x1＞x2＞0，∴

x1－x2＞0，x1x2＞0.

∴

f(x1)＞f(x2)，∴

f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值1，∴

f(x)的值域为(－∞，1]．

(2)

当a≥0时，y＝f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，

当x＝1时取得最大值2－a；

当a＜0时，f(x)＝2x＋，

当≥1，即a∈(－∞，－2]时，y＝f(x)在(0，1]上单调递减，无最大值，当x＝1时取得最小值2－a；

当＜1，即a∈(－2，0)时，y＝f(x)在(0，]上单调递减，在[，1]上单调递增，无最大值，当x＝时取得最小值2.

3.

(2018·扬州中学月考)设函数f(x)＝g(x)＝f(x)－ax，x∈[1，3]，其中a∈R.记函数g(x)的最大值与最小值的差为h(a)．

(1)

求函数h(a)的解析式；

(2)

画出函数y＝h(a)的图象，并指出h(a)的最小值．

解：(1)

由题意知g(x)＝

当a1时，函数g(x)是[1，3]上的减函数，此时g(x)min＝g(3)＝2－3a，g(x)max＝g(1)＝1－a，所以h(a)＝2a－1；

当0≤a≤1时，若x∈[1，2]，则g(x)＝1－ax，有g(2)≤g(x)≤g(1)；

若x∈(2，3]，则g(x)＝(1－a)x－1，有g(2)

故当0≤a≤时，g(x)max＝g(3)＝2－3a，有h(a)＝1－a；

当

综上所述，h(a)＝

(2)

画出y＝h(a)的图象，如图所示，数形结合可得h(a)min＝h()＝.