版高考数学第6章数列1第1讲数列的概念与简单表示法教案

2019版高考数学第6章数列1第1讲数列的概念与简单表示法教案本文简介：第1讲数列的概念与简单表示法知识点考纲下载数列的概念和简单表示法了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).了解数列是自变量为正整数的一类函数.等差数列理解等差数列的概念.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的

2019版高考数学第6章数列1第1讲数列的概念与简单表示法教案本文内容：

第1讲

数列的概念与简单表示法

知识点

考纲下载

数列的概念和

简单表示法

了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).

了解数列是自变量为正整数的一类函数.

等差数列

理解等差数列的概念.

掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.

能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.

了解等差数列与一次函数的关系.

等比数列

理解等比数列的概念.

掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.

能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.

了解等比数列与指数函数的关系.

1．数列的有关概念

概念

含义

数列

按照一定顺序排列的一列数

数列的项

数列中的每一个数

数列的通项

数列{an}的第n项an

通项公式

数列{an}的第n项与序号n之间的关系式

前n项和

数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an

2.数列的表示方法

列表法

列表格表示n与an的对应关系

图象法

把点(n，an)画在平面直角坐标系中

公式法

通项公式

把数列的通项使用公式表示的方法

递推公式

使用初始值a1和an与an＋1的关系式或a1，a2和an－1，an，an＋1的关系式等表示数列的方法

3.

an与Sn的关系

若数列{an}的前n项和为Sn，

则an＝

4．数列的分类

分类原则

类型

满足条件

按项数

分类

有穷数列

项数有限

无穷数列

项数无限

按项与项间

的大小关

系分类

递增数列

an＋1>an

其中n∈N*

递减数列

an＋10，所以a1＝1，

当n≥2时，2an＝2(Sn－Sn－1)＝an＋a－an－1－a，

所以(a－a)－(an＋an－1)＝0，

所以(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，

又an＋an－1>0，n≥2，

所以an－an－1＝1，n≥2，

所以{an}是等差数列，其公差为1，

因为a1＝1，

所以an＝n(n∈N*)．

【答案】

n

角度二

利用an与Sn的关系求Sn

设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________．

【解析】

由已知得an＋1＝Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，两边同时除以Sn＋1Sn，得－＝－1，故数列是以－1为首项，－1为公差的等差数列，则＝－1－(n－1)＝－n，所以Sn＝－.

【答案】

－

(1)已知Sn求an的三个步骤

①先利用a1＝S1求出a1.

②用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．

③注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并．

(2)Sn与an关系问题的求解思路

根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．

①利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．

②利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．

[通关练习]

1．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝________．

解析：当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2·3n－1.

当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，所以an＝

答案：

2．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝________．

解析：法一：因为Sn＝2an＋1，所以当n≥2时，Sn－1＝2an，

所以an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an(n≥2)，

即＝(n≥2)，

又a2＝，所以an＝×(n≥2)．

当n＝1时，a1＝1≠×＝，

所以an＝

所以Sn＝2an＋1＝2××＝.

法二：因为S1＝a1，an＋1＝Sn＋1－Sn，则Sn＝2(Sn＋1－Sn)，

所以Sn＋1＝Sn，

所以数列{Sn}是首项为1，公比为的等比数列，

所以Sn＝.

答案：

3．已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋nan＝3n2－2n＋1，求an.

解：设a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋nan＝Tn，

当n＝1时，a1＝T1＝3×12－2×1＋1＝2，

当n≥2时，

nan＝Tn－Tn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]

＝6n－5，

因此an＝，

显然当n＝1时，不满足上式．

故数列的通项公式为an＝

由递推关系求数列的通项公式

[典例引领]

分别求出满足下列条件的数列的通项公式．

(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；

(2)a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)；

(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)．

【解】

(1)an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝0＋1＋3＋…＋(2n－5)＋(2n－3)＝(n－1)2，

所以数列的通项公式为an＝(n－1)2.

(2)当n≥2，n∈N*时，

an＝a1×××…×

＝1×××…×××＝n，

当n＝1时，也符合上式，

所以该数列的通项公式为an＝n.

(3)因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，所以＝3，所以数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·3n－1，所以该数列的通项公式为an＝2·3n－1－1.

若本例(3)条件an＋1＝3an＋2变为an＋1＝3an＋3n＋1，求an.

解：因为an＋1＝3an＋3n＋1，所以＝＋1，

所以数列{}是以为首项，1为公差的等差数列．

所以＝＋(n－1)＝n－，

所以an＝n·3n－2·3n－1.

由数列递推式求通项公式的常用方法

[通关练习]

1．(2018·兰州市诊断考试)已知数列{an}，{bn}，若b1＝0，an＝，当n≥2时，有bn＝bn－1＋an－1，则b2

017＝________．

解析：由bn＝bn－1＋an－1得bn－bn－1＝an－1，所以b2－b1＝a1，b3－b2＝a2，…，bn－bn－1＝

an－1，所以b2－b1＋b3－b2＋…＋bn－bn－1＝a1＋a2＋…＋an－1＝＋＋…＋，即bn－b1＝a1＋a2＋…＋an－1＝＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝1－＝，因为b1＝0，所以bn＝，所以b2

017＝.

答案：

2．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2nan，则an＝________．

解析：由于＝2n，

故＝21，＝22，…，＝2n－1，

将这n－1个等式叠乘，

得＝21＋2＋…＋(n－1)＝2，故an＝2.

答案：2

数列的性质(高频考点)

数列的性质主要有单调性、周期性及最值问题，是高考的热点，多以选择题或填空题形式考查，多存在一定难度．高考对数列的性质的考查常有以下三个命题角度：

(1)数列的单调性；

(2)数列的周期性；

(3)数列的最值．

[典例引领]

角度一

数列的单调性

已知{an}是递增数列，且对于任意的n∈N*，an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是________．

【解析】

{an}是递增数列，所以对任意的n∈N*，都有an＋1＞an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)＞n2＋λn，整理，得2n＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n＋1)．(*)

因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3.

【答案】

(－3，＋∞)

角度二

数列的周期性

设数列{an}满足：an＋1＝，a2

018＝3，那么a1＝(

)

A．－

B.

C．－

D.

【解析】

设a1＝x，由an＋1＝，

得a2＝，

a3＝＝＝－，

a4＝＝＝，

a5＝＝＝x＝a1，

所以数列{an}是周期为4的周期数列．

所以a2

018＝a504×4＋2＝a2＝＝3.

解得x＝.

【答案】

B

角度三

数列的最值

已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋kn，k∈N*，且Sn的最大值为8.试确定常数k，并求数列{an}的通项公式．

【解】

因为Sn＝－n2＋kn＝－(n－k)2＋k2，其中k是常数，且k∈N*，所以当n＝k时，Sn取最大值k2，故k2＝8，k2＝16，因此k＝4，从而Sn＝－n2＋4n.

当n＝1时，a1＝S1＝－＋4＝；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－n.

当n＝1时，－1＝＝a1，所以an＝－n.

(1)利用递推公式探求数列的周期性的两种思想

思想1：根据递推公式，写出数列的前n项直到出现周期情况后，利用an＋T＝an写出周期（n＋T）－n＝T.

思想2：利用递推公式“逐级”递推，直到出现an＋T＝an，即得周期T＝（n＋T）－n.

（2）判断数列的单调性的两种方法

[通关练习]

1．已知数列{an}满足an＋1＝an＋2n，且a1＝33，则的最小值为(

)

A．21

B．10

C.

D.

解析：选C.由已知条件可知，当n≥2时，

an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)

＝33＋2＋4＋…＋2(n－1)

＝n2－n＋33，又n＝1时，a1＝33满足此式．

所以＝n＋－1.

令f(n)＝＝n＋－1，则f(n)在[1，5]上为减函数，

在[6，＋∞)上为增函数，又f(5)＝，f(6)＝，

则f(5)>f(6)，故f(n)＝的最小值为.

2．已知数列{an}满足a1＝2，an＝－(n≥2且n∈N*)，若数列{an}的前n项和为Sn，则S2

018＝________．

解析：因为a1＝2，a2＝－，a3＝－，a4＝2，所以数列{an}是周期为3的数列，所以S2

018＝672×＋2－＝.

答案：

数学文化与数列问题

[典例引领]

(2017·高考全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(

)

A．1盏

B．3盏

C．5盏D．9盏

【解析】

每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{an}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2，依题意，得＝381，解得a1＝3.

【答案】

B

解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，即数列问题，利用数列的通项公式及求和公式求解．

[通关练习]

1．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为(

)

A.钱

B.钱

C.钱

D.钱

解析：选D.设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，依题意有解得

2．(2018·新疆第二次适应性检测)《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月，日织九匹三丈”(注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现一月(按30天计)共织390尺布，则第30天比第一天多织布的尺数是(

)

A．19

B．18

C．17D．16

解析：选D.依题意，织女每天所织布的尺数依次排列形成等差数列，记为{an}，其中a1＝5，S30＝＝390，a1＋a30＝26，a30＝26－a1＝21，a30－a1＝16.

数列与函数的关系

数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在正整数集N*或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．

数列的单调性的判断

(1)作差比较法．an＋1－an>0?数列{an}是递增数列；an＋1－an0时，则>1?数列{an}是递增数列；bn，

所以(n－2λ)·2n>(n－1－2λ)·2n－1(n≥2)，

可得λ－λ，解得λa3>…>a8，

当n＝8时，a9＝a8，

当n>8时，an＋1>an，即a9

所以当n＝8或n＝9时，an的值最小．

6．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.

(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；

(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．

解：(1)依题意得Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，

即Sn＋1＝2Sn＋3n，

由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，即bn＋1＝2bn，

又b1＝S1－3＝a－3，

因此，所求通项公式为bn＝(a－3)2n－1，n∈N*.

(2)由(1)可知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，

于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，

an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2

＝2n－2，

所以，当n≥2时，

an＋1≥an?12＋a－3≥0?a≥－9，

又a2＝a1＋3＞a1，a≠3.

所以，所求的a的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞)．