高考数学复习解析几何课时达标检测四十六双曲线理

2018高考数学复习解析几何课时达标检测四十六双曲线理本文简介：课时达标检测（四十六）双曲线[练基础小题——强化运算能力]1．已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝()A．2B.C.D．1解析：选D因为双曲线的方程为－＝1，所以e2＝1＋＝4，因此a2＝1，a＝1.选D.2．若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线方程为()A．y＝±2xB．y＝±xC．y＝

2018高考数学复习解析几何课时达标检测四十六双曲线理本文内容：

课时达标检测（四十六）

双

曲

线

[练基础小题——强化运算能力]

1．已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝(

)

A．2

B.

C.

D．1

解析：选D

因为双曲线的方程为－＝1，所以e2＝1＋＝4，因此a2＝1，a＝1.选D.

2．若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线方程为(

)

A．y＝±2x

B．y＝±x

C．y＝±x

D．y＝±x

解析：选B

在双曲线中离心率e＝＝

＝，可得＝，故双曲线的渐近线方程是y＝±x.

3．双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为(

)

A．2

B.

C.

D.

解析：选C

由渐近线互相垂直可知·＝－1，即a2＝b2，即c2＝2a2，即c＝a，所以e＝.

4．(2016·天津高考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为(

)

A.－y2＝1

B．x2－＝1

C.－＝1

D.－＝1

解析：选A

由焦距为2，得c＝.因为双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，所以＝.又c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1.

5．(2016·北京高考)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝________.

解析：不妨令B为双曲线的右焦点，A在第一象限，则双曲线如图所示．

∵四边形OABC为正方形，|OA|＝2，

∴c＝|OB|＝2，∠AOB＝.

∵直线OA是渐近线，方程为y＝x，∴＝tan∠AOB＝1，即a＝b.

又∵a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.

答案：2

[练常考题点——检验高考能力]

一、选择题

1．若实数k满足0＜k＜9，则曲线－＝1与曲线－＝1的(

)

A．离心率相等

B．虚半轴长相等

C．实半轴长相等

D．焦距相等

解析：选D

由00)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为(

)

A．±

B．±

C．±1

D．±

解析：选C

由题设易知A1(－a,0)，A2(a,0)，Bc，，C.∵A1B⊥A2C，∴·＝－1，整理得a＝b.∵渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，∴渐近线的斜率为±1.

5．(2017·江南十校联考)已知l是双曲线C：－＝1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2分别是C的左、右焦点，若·＝0，则点P到x轴的距离为(

)

A.

B.

C．2

D.

解析：选C

由题意知F1(－，0)，F2(，0)，不妨设l的方程为y＝x，点P(x0，x0)，由·＝(－－x0，－x0)·(－x0，－x0)＝3x－6＝0，得x0＝±，故点P到x轴的距离为|x0|＝2，故选C.

6．已知双曲线－＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为(

)

A．(1，)

B．(1，

]

C．(，＋∞)

D．[，＋∞)

解析：选C

∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则由题意得＞2，∴e＝＝

＞＝.即双曲线离心率的取值范围为(，＋∞)．

二、填空题

7．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)与椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，则双曲线C的方程为________________．

解析：易得椭圆的焦点为(－，0)，(，0)，∴∴a2＝1，b2＝4，∴双曲线C的方程为x2－＝1.

答案：x2－＝1

8．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F1作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A，B，若v＝，则双曲线的渐近线方程为____________．

解析：由得x＝－，由

解得x＝，不妨设xA＝－，xB＝，

由＝可得－＋c＝＋，

整理得b＝3a.

所以双曲线的渐近线方程为3x±y＝0.

答案：3x±y＝0

9．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|＝2且∠F1AF2＝45°，延长AF2交双曲线右支于点B，则△F1AB的面积等于______．

解析：由题意可得|AF2|＝2，|AF1|＝4，则|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝2＋|BF2|＝|BF1|.又∠F1AF2＝45°，所以△ABF1是以AF1为斜边的等腰直角三角形，则|AB|＝|BF1|＝2，所以其面积为×2×2＝4.

答案：4

10．(2016·山东高考)已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．

解析：如图，由题意知|AB|＝，|BC|＝2c.

又2|AB|＝3|BC|，

∴2×＝3×2c，

即2b2＝3ac，

∴2(c2－a2)＝3ac，两边同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(负值舍去)．

答案：2

三、解答题

11．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，

－)．点M(3，m)在双曲线上．

(1)求双曲线的方程；

(2)求证：·＝0；

(3)求△F1MF2的面积．

解：(1)∵e＝，

∴双曲线的实轴、虚轴相等．

则可设双曲线方程为x2－y2＝λ.

∵双曲线过点(4，－)，

∴16－10＝λ，即λ＝6.

∴双曲线方程为－＝1.

(2)证明：不妨设F1，F2分别为左、右焦点，

则＝(－2－3，－m)，

＝(2－3，－m)．

∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，

∵M点在双曲线上，

∴9－m2＝6，即m2－3＝0，

∴·＝0.

(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4.

由(2)知m＝±.

∴△F1MF2的高h＝|m|＝，

∴S△F1MF2＝×4×＝6.

12．中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.

(1)求椭圆和双曲线的方程；

(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．

解：(1)由题知c＝，设椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1，则

解得a＝7，m＝3.则b＝6，n＝2.

故椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.

(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，

所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.

又|F1F2|＝2，

所以cos∠F1PF2＝

＝＝.