三角形的内切圆与内心

一、三角形的内切圆与内心

1、三角形的内切圆

（1）三角形的内切圆的有关概念

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。

（2）三角形内切圆的作法

确定圆心：三角形两条角平分线的交点即为圆心。

确定半径：交点到三角形任意一边的距离即为内切圆的半径。

（3）如果三角形三边长分别为$a$，$b$，$c$，内切圆半径为$r$，则三角形的面积$S=\frac{1}{2}(a+b+c)r$。

2、三角形的外接圆

（1）不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

（2）三角形的外接圆的有关概念：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。

（3）三角形外接圆的作法

①确定圆心：三角形两边的垂直平分线的交点即为圆心；

②确定半径：交点到三角形任意一顶点的距离即为外接圆的半径。

二、三角形的内切圆与内心的相关例题

若一直角三角形的斜边长为$c$，内切圆半径是$r$，则内切圆的面积与三角形面积之比是___

A．$\frac{πr}{c+2r}$ B．$\frac{πr}{c+r}$

C．$\frac{πr}{2c+r}$ D．$\frac{πr}{c^2+r^2}$

答案：B

解析：设直角三角形的两条直角边是$a$，$b$，则有：$S=\frac{a+b+c}{2}r$，又∵$r=\frac{a+b-c}{2}$，∴$a+b=2r+c$，将$a+b=2r+c$ 代入$S=\frac{a+b+c}{2}r$，得$S=\frac{2r+2c}{2}r=r(r+c)$。又∵内切圆的面积是$πr^2$，∴它们的比是$\frac{πr}{c+r}$。故选B。