代数基本概念
代数是研究数、数量、关系、结构与代数方程(组)的通用解法及其性质的数学分支。初等代数一般在中学时讲授,介绍代数的基本思想:研究当我们对数字作加法或乘法时会发生什么,以及了解变量的概念和如何建立多项式并找出它们的根。
代数是数学的一个分支。传统的代数用有字符 (变量) 的表达式进行算术运算,字符代表未知数或未定数。如果不包括除法 (用整数除除外),则每一个表达式都是一个含有理系数的多项式。例如: 1/2 xy +1/4z-3x+2/3. 一个代数方程式 (参见EQUATION)是通过使多项式等于零来表示对变量所加的条件。如果只有一个变量,那么满足这一方程式的将是一定数量的实数或复数——它的根。一个代数数是某一方程式的根。代数数的理论——伽罗瓦理论是数学中最令人满意的分支之一。建立这个理论的伽罗瓦(Evariste Galois,1811-32)在21岁时死于决斗中。他证明了不可能有解五次方程的代数公式。用他的方法也证明了用直尺和圆规不能解决某些著名的几何问题(立方加倍,三等分一个角)。多于一个变量的代数方程理论属于代数几何学,抽象代数学处理广义的数学结构,它们与算术运算有类似之处。参见,如: 布尔代数(BOOLEAN ALGEBRA);群 (GRO-UPS);矩阵(MATRICES);四元数(QUA-TERNIONS );向量(VECTORS)。这些结构以公理 (见公理法 AXIOMATICMETHOD) 为特征。特别重要的是结合律和交换律。代数方法使问题的求解简化为符号表达式的操作,已渗入数学的各分支。
设K为一交换体. 把K上的向量空间E叫做K上的代数,或叫K-代数,如果赋以从E×E到E中的双线性映射.换言之,赋以集合E由如下三个给定的法则所定义的代数结构:
——记为加法的合成法则(x,y)?x+y;
——记为乘法的第二个合成法则(x,y)?xy;
——记为乘法的从K×E到E中的映射(α,x)?αx,这是一个作用法则;
这三个法则满足下列条件:
a) 赋以第一个和第三个法则,E则为K上的一个向量空间;
b) 对E的元素的任意三元组(x,y,z),有x(y+z)=xy+xz(y+z)x=yx+zx;