约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷个人简历
约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷(Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet),德国数学家。科隆大学博士。历任柏林大学和格廷根大学教授。柏林科学院院士。是解析数论的创始人。对函数论、位势论和三角级数论都有重要贡献。主要著作有《数论讲义》、《定积分》等。
在数论方面,他对高斯的u2019《算术研究》进行了研究,并有所创新,对费马大定理,他给出当n=14时,无整数解的证明;还探讨了二次型、多项式的因子、二次和双二次互反德等等问题;还开创了解析数论的研究。
狄利克雷在柏林的早期数论工作,集中在改进高斯在《算术研究》及其他数论文章中的证明或表述方式。如高斯给出的二次互反律的第一个证明相当烦琐,需对8种情形作分别的处理;狄利克雷简化了这一证明,把全部情形归结为2种。其后,他在高斯的理论中引入了一些更深入的问题和结果。如为解二元型理论中的某些困难问题,他开始讨论三元型的课题,提出了一个富有成果的新领域。1837年7月27日,狄利克雷在柏林科学院会议上,提交了对勒让德的一个猜想的解答,他证明任一形如an+b,n=0,1,2,…的算术级数,若a,b互素,则它含有无穷多个素数(即算术级数的素是复数)和二元二次型类数的计算等分析学工具和方法,成为解析数论的开创性工作。
1842年,狄利克雷开始研究具有高斯系数的型,首次运用了“盒子原理”——若将多于n个的物体放入n个盒子,则至少有一个盒子含有多于一个的物体,它在现代数论的许多论证中起重要作用。
1846年,他在属于代数数论的单元理论的文章“复单元理论(Zur Theorie der complexen Einheiten)中,获得了一个漂亮而完整的结果,现称狄利克雷单元定理:对由一个不可约方程及其r个实根和s对复根定义的代数数域 K=Q(α),一切单元构成的阿贝尔群的秩为r+s-1,其有限阶元部分由域中单位根组成。
1863年,狄利克雷的《数论讲义》(Vorlesungen über Zahlen-theorie)由他的学生和朋友R.戴德金(Dedekind)编辑出版,这份讲义不仅是对高斯《算术研究》的最好注释,而且融进了他在数论方面的许多精心创造,之后多次再版,成为数论经典之一。
分析
在分析方面,他最卓越的工作是对傅立叶级数收敛性的研究。他在1822——1825年期间在巴黎会见傅立叶之后,对傅立叶级数产生了兴趣。日本数学家丸山哲郎说:“把任意函数用三角级数表示出来的傅立叶方法,被狄利克雷所继承,他给出了关于傅立叶级数的收敛性证明。”
狄利克雷是19世纪分析学严格化的倡导者之一。1829年,他在克雷尔(Crell)杂志发表了他最著名的一篇文章“关于三角级数的收敛性”(Sur la convergence des séries trigonométri-ques)。该文是在傅里叶有关热传导理论的影响下写成的,讨论任意函数展成形如:1/2+(cosx+sinx)+(cos2x+sin2x)+…的三角级数(现称傅里叶级数)及其收敛性。早在18世纪,D.伯努利(Bernoulli)和L.欧拉(Euler)就曾在研究弦振动问题时考察过这类级数。傅里叶在19世纪初用它讨论热传导现象,但未虑及其收敛性.A.L.柯西(Cauchy)在1823年开始考虑它的收敛问题。狄利克雷在文中指出柯西的推理不严格,其结论也不能涵盖某些已知其收敛性的级数。他进而考虑形式上对应于给定函数f(x)的三角级数的前n项的和,检验它跟f(x)的差是否趋于零,后成为判断级数收敛的经典方法。狄利克雷证明:若f(x)是周期为2π的周期函数,在-π 1837年,狄利克雷再次回到上述课题,发表题为“用正弦和余弦级 tionen durch Sinus-und Cosinusreihen)的文章,其中扩展了当时普遍采用的函数概念(即由数学符号及运算组成的表达式为函数的概念),引入了现代的函数概念:若变量y以如下方式与变量x相关联,即只要给x指定一个值,按一个规则可确定唯一的y值,则称y是独立变量x的函数。为说明该规则具有完全任意的性质,狄利克雷举出了“性状极怪”的函数实例:当x为有理数时,y=c;当x为无理数时,y=d≠c 现称狄利克雷函数)。但狄利克雷的连续函数概念仍是直观的,并根据等距取函数值求和的方法定义其积分。在此基础上,狄利克雷建立了傅里叶级数的理论。 狄利克雷在数学和力学两个领域都做出了名垂史册的重大贡献,尤以分析、数论、位势论为最。著名数学家阿贝尔说:“狄利克雷是一位极有洞察力的数学家。” 1839年,狄利克雷发表了3篇涉及力学的数学论文,讨论多重积分估值的方法,用于确定椭球体对其内部或外部任意质点的引力,开始了他对数学物理问题的研究。这方面最重要的文章发表于1850年,提出了研究拉普拉斯方程的边值问题(现称狄利克雷问题或第一边值问题):求满足偏微分方程的位势函数V(x,y,z),使它在球面边界上取给定的值。这一类型的问题在热力学和电动力学中特别重要,也是数理方程研究中的基本课题。狄利克雷本人曾用所谓的狄利克雷原理给出了问题的解。1852年,他讨论球在不可压缩流体中的运动,得到流体动力学方程的第一个精确解。 勒热纳·狄利克雷逝后,其朋友且学生数学家戴德金将其数论的讲述和其他结果整理、编辑,在1863年出版了他的遗著《数论讲义》,其中包含了他在数论方面的许多成果。在分析方面,他先后发表了《关于三角级数的收敛性》、《用正弦和余弦级数表示完全任意函数》,其中进一步发展了傅里叶级数的理论,并提出新的单值函数概念,还提出所谓“狄利克雷函数”、所谓“狄利克雷积分”等。他还在位势论、热学、磁学、数学物理等方面也有一些创造。 狄利克雷很注重同德、法等外国数学家的交流。其主要论文收集在《狄利克雷论文集》里,共2卷,分别出版于1889年和1897年。 1.简介 在数论中,狄利克雷定理说明对于任意互质的两个数a,d,有无限多个质数的形式如a+nd,其中n为正整数,即在算术级数a+d,a+2d,a+3d……中有无限多个质数——有无限个质数模d同余a。狄利克雷函数无法画出图像 2.相关定理 欧几里得证明了有无限个质数,即有无限多个质数的形式如2n+1。 算术级数的质数定理:若a,d互质,则有 其中φ是欧拉函数。取d=2,可得一般的质数定理。 Linnik定理说明了级数中最小的质数的范围:算术级数a+nd中最小的质数少于c*d^L,其中L和c均为常数,但这两个常数的最小值尚未找到。 Chebotarev密度定理是在狄利克雷定理在伽罗瓦扩张的推广。 分析学中,狄利克雷(Dirichlet)判别法是分析学中一条十分重要的判定法则,主要用于判定任意项数项级数的收敛、函数项级数的一致收敛、反常积分的收敛以及含参变量反常积分的一致收敛等。 1834年提出鸽巢定理(即抽屉原理),当时命名为Schubfachprinzip (drawer principle). 狄利克雷于1805年2月13日生于德国迪伦,1859年5月5日卒于格丁根。 其家庭来自比利时的市镇利克雷(Richelet),此乃其姓氏勒热纳·狄利克雷(le jeune de Richelet = 法语:来自利克雷的小伙子),他的祖父就生活在那里。狄利克雷出身于行政官员家庭,他父亲是一名邮政局长。狄利克雷少年时即表现出对数学的浓厚兴趣,据说他在12岁前就自攒零用钱购买数学图书。1817年入波恩的一所中学,除数学外,他对近代史有特殊爱好,人们称道他是个能专心致志又品行优良的学生。两年后,他遵照父母的意愿转学到科隆的一所教会学校,在那里曾从师物理学家欧姆(Ohm),学到了必要的物理学基础知识。 其妻瑞贝卡·门德尔松(Rebecca Mendelssohn)是音乐家费利克斯·门德尔松的妹妹。数学物理