高二数学上册期中考试题

1、抛物线y＝4x2的焦点坐标是________．

2.“x>0”是“x≠0”的______条件．（“充分不必要条件”、“必要不充分”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”）.

3、按如图所示的流程图运算，若输入x＝20，则输出的k＝__.

4、某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为_的学生

5、口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为＿＿

6.已知函数f(x)＝f′π4cosx＋sinx，则fπ4的值为_____

7、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为___________．

8．曲线C的方程为x2m2＋y2n2＝1，其中m，n是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件A＝“方程x2m2＋y2n2＝1表示焦点在x轴上的椭圆”，那么P(A)＝_____.

9、下列四个结论正确的是______．(填序号)

①“x≠0”是“x＋|x|>0”的必要不充分条件；

②已知a、b∈R，则“|a＋b|＝|a|＋|b|”的充要条件是ab>0；

③“a>0，且Δ＝b2－4ac≤0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是R”的充要条件；

④“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件．

10．已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为___．

11、已知点A(0,2)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，线段FA交抛物线于点B，过B作l的垂线，垂足为M，若AM⊥MF，则p=

12.已知命题:“x∈R，ax2－ax－20”，如果命题是假命题，则实数a的取值范围是_____．

13.在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，P是椭圆上一点，l为左准线，PQ⊥l，垂足为Q.若四边形PQFA为平行四边形，则椭圆的离心率e的取值范围是________．

14、若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，则

a的值是____．

二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）

15．（本题满分14分）

已知双曲线过点(3，－2)，且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．

(1)求双曲线的标准方程；

(2)求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．

17、（本题满分15分）

已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．

(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；

(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．

18、（本题满分15分）

中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝213，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7.

(1)求这两曲线方程；

(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．

19、（本题满分16分）

设a∈{2,4}，b∈{1,3}，函数f(x)＝12ax2＋bx＋1.

(1)求f(x)在区间(－∞，－1]上是减函数的概率；

(2)从f(x)中随机抽取两个，求它们在(1，f(1))处的切线互相平行的概率．

20、（本题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A1，A2，上、下顶点分别为B2，B1，点P35a，m(m>0)是椭圆C上一点，PO⊥A2B2，直线PO分别交A1B1，A2B2于点M，N.

(1)求椭圆的离心率；

(2)若MN＝4217，求椭圆C的方程；

(3)在第（2）问条件下，求点Q()与椭圆C上任意一点T的距离d的最小值．

【答案】

一、填空题本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

1、抛物线y＝4x2的焦点坐标是__．(0，116)______

2.“x>0”是“x≠0”的____充分不必要____条件．（“充分不必要条件”、“必要不充分”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”）.

3、按如图所示的流程图运算，若输入x＝20，则输出的k＝_3__.

4、某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为_37__的学生

5、口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为＿＿1/3＿＿

6.已知函数f(x)＝f′π4cosx＋sinx，则fπ4的值为__1_____

7、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为___x2－y2＝2_____________．

8．曲线C的方程为x2m2＋y2n2＝1，其中m，n是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件A＝“方程x2m2＋y2n2＝1表示焦点在x轴上的椭圆”，那么P(A)＝___512__.

9、下列四个结论正确的是__①③______．(填序号)

①“x≠0”是“x＋|x|>0”的必要不充分条件；

②已知a、b∈R，则“|a＋b|＝|a|＋|b|”的充要条件是ab>0；

③“a>0，且Δ＝b2－4ac≤0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是R”的充要条件；

④“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件．

10．已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为__12___．

11、已知点A(0,2)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，线段FA交抛物线于点B，过B作l的垂线，垂足为M，若AM⊥MF，则p＝___2

12.已知命题:“x∈R，ax2－ax－20”，如果命题是假命题，则实数a的取值范围是___(－8,0]_____．

13.在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，P是椭圆上一点，l为左准线，PQ⊥l，垂足为Q.若四边形PQFA为平行四边形，则椭圆的离心率e的取值范围是___(2－1，1)_____．

14、若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，则a的值是____1或____．

二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）

16．（本题满分14分）

已知命题：函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减；命题：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．为真，为假，求a的取值范围．

解：当p为真时：0

当q为真时：a>5/2或a<1/2---------------------------------------------8分

有题意知：p，q一真一假-----------------------------------------------10分

------------------------------------------------14分

17、（本题满分15分）

已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．

(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；

(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．

解f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．

(1)由题意得f 0 ＝b＝0，f′ 0 ＝－a a＋2 ＝－3，---------------------------------4分

解得b＝0，a＝－3或1.---------------------------------------------------------------------4分

(2)∵曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，

∴关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，--------10分

∴Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，即4a2＋4a＋1>0，

∴a≠－12.

∴a的取值范围是－∞，－12∪－12，＋∞.---------------------------------15分

18、（本题满分15分）

中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝213，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7.

(1)求这两曲线方程；

(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．

解(1)由已知：c＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线半实、虚轴长分别为m，n，

则a－m＝4，7 13a＝3 13m.解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2.

∴椭圆方程为x249＋y236＝1，---------------------------------------------------------------------4分

双曲线方程为x29－y24＝1.------------------------------------------------------------------------8分

(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，

所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.又|F1F2|＝213，

∴cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1| |PF2|＝102＋42－ 213 22×10×4＝45.----------------------------15分

19、（本题满分16分）

设a∈{2,4}，b∈{1,3}，函数f(x)＝12ax2＋bx＋1.

(1)求f(x)在区间(－∞，－1]上是减函数的概率；

(2)从f(x)中随机抽取两个，求它们在(1，f(1))处的切线互相平行的概率．

解：(1)f（x）共有四种等可能基本事件即（a，b）取（2,1）（2,3）（4,1）（4,3）

记事件A为“f(x)在区间(－∞，－1]上是减函数”

有条件知f（x）开口一定向上，对称轴为x=

所以事件A共有三种（2,1）（4,1）（4,3）等可能基本事件

则P（A）=34.

所以f(x)在区间(－∞，－1]上是减函数的概率为34.-------------------8分

(2)由(1)可知，函数f(x)共有4种可能，从中随机抽取两个，有6种抽法．

∵函数f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝a＋b，

∴这两个函数中的a与b之和应该相等，而只有(2,3)，(4,1)这1组满足，

∴概率为16.----------------------------------------------------16分

20、（本题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A1，A2，上、下顶点分别为B2，B1，点P35a，m(m>0)是椭圆C上一点，PO⊥A2B2，直线PO分别交A1B1，A2B2于点M，N.

(1)求椭圆的离心率；

(2)若MN＝4217，求椭圆C的方程；

(3)在第（2）问条件下，求点Q()与椭圆C上任意一点T的距离d的最小值．

解：(1)由题意P3a5，4b5，kA2B2 kOP＝－1，

所以4b2＝3a2＝4(a2－c2)，所以a2＝4c2，所以e＝12.①---------------5分

(2)因为MN＝4217＝21a2＋1b2，

所以a2＋b2a2b2＝712②

由①②得a2＝4，b2＝3，所以椭圆C的方程为x24＋y23＝1.--------------------10分

（3）

因为，所以当时TQ最小为-----------------------------16分

【二】

一、选择题（共10小题）

1、某地区高中分三类，A类学校共有学生2000人，B类学校共有学生3000人，C类学校共有学生4000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则A类学校中的学生甲被抽到的概率为（）

A．B．C．D．

2、设,则的值为（）

A．0B.—1C．1D．

3、对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），则下列说法中不正确的是（）

A．由样本数据得到的回归方程=x+*样本中心（，）

B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好

D．若变量y和x之间的相关系数为r=﹣0.9362，则变量y和x之间具有线性相关关系

4、在区域内任取一点P，则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率为（）

A．B．C．D．

5、某校高二年级有8个班，现有6名学生，分配到其中两个班，每班3人，共有种（）方法。

A．280B．560C．1120D．3360

6、把一枚硬币任意抛掷三次，事件A＝“至少一次出现反面”，事件B＝“恰有一次出现正面”，则

P（B|A）＝（）

A．B．C．D．

7、某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程（）

零件数x个1020304050

加工时间y（min）62758189

表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（）

A．68B．68.2

C．69D．75

8、执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则P的取

值范围是（）

A．B．

C．D．

9、若x∈A，且，则称A是“伙伴关系集合”．在集合的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为（）

A．B．C．D．

10．在数1，2，3，4，5的排列a1，a2，a3，a4，a5中，满足a1＜a2，a2＞a3，a3＜a4，a4＞a5的排列出现的概率为（）

A．B．C．D．

二、填空题（共5小题）

11、若展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为____．

12、设随机变量ξ～N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则P（﹣1＜ξ＜0）=_________．

13、随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且Eξ=300，Dξ=200，则p等于_________．

14、将7个市三好学生名额分配给5个不同的学校，其中甲、乙两校至少各有两个名额，则不同的分配方案种数有_________．

15、一支足球队每场比赛获胜（得3分）的概率为a，与对手踢平（得1分）的概率为b，负于对手（得0分）的概率为c（a，b，c∈（0，1）），已知该足球队进行一场比赛得分的期望是1，则的最小值为____．

三、解答题（共6小题）

16、（本题12分）用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺次排成一个三位数，此时：

（1）各位数字互不相同的三位数有多少个

（2）可以排出多少个不同的数

（3）恰好有两个相同数字的三位数共有多少个

17、（本题12分）已知的展开式中前三项的系数成等差数列．

（1）求n的值；

（2）求展开式中系数的项．

18、（本题12分）某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人．

（1）求n的值；

（2）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖．求a和b至少有一人上台抽奖的概率．

（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．

19、（本题12分）某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制）（均为整数）分成6组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题．

（1）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；

（2）从频率分布直方图中，估计本次考试的平均分；

（3）若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40，70）记0分，在[70，100]记1分，用X表示抽取结束后的总记分，求X的分布列和数学期望．

20、（本题13分）已知某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，每次实验结果相互独立．假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的．若该研究所共进行四次实验，设ξ表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值；

（1）求随机变量ξ的数学期望；

（2）记“关于x的不等式ξx2﹣ξx+1＞0的解集是实数集R”为事件A，求事件A发生的概率P（A）．

21、（本题14分）已知圆C经过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，半径小于5．

（1）求直线PQ与圆C的方程；

（2）若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A，B，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．