欧拉线的向量证明(欧拉线)
和煦的风
精选回答
1、三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线。
2、欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理:三角形的重心在欧拉线上,即三角形的重心、垂心和外心共线。
3、欧拉线的证明:作△ABC的外接圆,连结并延长BO,交外接圆于点D。
4、连结AD、CD、AH、CH、OH。
5、作中线AM,设AM交OH于点G’。
6、∵ BD是直径, ∴ ∠BAD、∠BCD是直角。
7、∴ AD⊥AB,DC⊥BC。
8、∵ CH⊥AB,AH⊥BC, ∴ DA‖CH,DC‖AH。
9、∴ 四边形ADCH是平行四边形, ∴ AH=DC。
10、∵ M是BC的中点,O是BD的中点。
11、∴ OM= DC。
12、∴ OM= AH。
13、∵ OM‖AH, ∴ △OMG’ ∽△HAG’。
14、∴ 。
15、∴ G’是△ABC的重心。
16、∴ G与G’重合。
17、∴ O、G、H三点在同一条直线上。
浓雾漫山野 2023-08-18 13:27:59
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