版高考数学复习解析几何9.9直线与圆锥曲线真题演练集训理新人教A版

2018版高考数学复习解析几何9.9直线与圆锥曲线真题演练集训理新人教A版本文简介：2018版高考数学一轮复习第九章解析几何9.9直线与圆锥曲线真题演练集训理新人教A版1．[2013·新课标全国卷Ⅰ]已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案：D解

2018版高考数学复习解析几何9.9直线与圆锥曲线真题演练集训理新人教A版本文内容：

2018版高考数学一轮复习

第九章

解析几何

9.9

直线与圆锥曲线真题演练集训

理

新人教A版

1．[2013·新课标全国卷Ⅰ]已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(

)

A.

＋＝1

B.

＋＝1

C.

＋＝1

D.

＋＝1

答案：D

解析：直线AB的斜率k＝＝，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则

①－②，得＝－·.

即k＝－×，

∴＝.③

又a2－b2＝c2＝9，④

由③④得a2＝18，b2＝9.

∴椭圆E的方程为＋＝1，故选D.

2．[2014·新课标全国卷Ⅱ]设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(

)

A.

B.

C.

D.

答案：D

解析：易知抛物线中p＝，焦点F，直线AB的斜率k＝，故直线AB的方程为y＝，代入抛物线方程y2＝3x，整理得x2－x＋＝0.设A(x1，y1)

，B(x2，y2)，则x1＋x2＝.由抛物线的定义可得弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12，结合图象可得O到直线AB的距离d＝sin

30°＝，所以△OAB的面积S＝|AB|·d＝.

3．[2016·江苏卷]如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p＞0)．

(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；

(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.

①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；

②求p的取值范围．

(1)解：抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为，

由点在直线l：x－y－2＝0上，得－0－2＝0，即p＝4.

所以抛物线C的方程为y2＝8x.

(2)解：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0)．

因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，于是直线PQ的斜率为－1，则可设其方程为y＝－x＋b.

①证明：由消去x得y2＋2py－2pb＝0.(*)

因为P和Q是抛物线C上的相异两点，

所以y1≠y2，

从而Δ＝(2p)2－4×(－2pb)>0，

化简得p＋2b>0.

方程(*)的两根为y1,2＝－p±，从而y0＝＝－p.

因为M(x0，y0)在直线l上，所以x0＝2－p.

因此，线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)．

②解：因为M(2－p，－p)在直线y＝－x＋b上，

所以－p＝－(2－p)＋b，即b＝2－2p.

由①知p＋2b>0，于是p＋2(2－2p)>0，

所以p0)．

由x2＝2y，可得y′＝x，

所以直线l的斜率为m.

因此直线l的方程为y－＝m(x－m)，

即y＝mx－.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．

联立方程

得(4m2＋1)x2－4m3x＋m4－1＝0.

由Δ>0，得0

因此x0＝，

将其代入y＝mx－，得y0＝，

因为＝－，

所以直线OD的方程为y＝－x.

联立方程

得点M的纵坐标yM＝－，

所以点M在定直线y＝－上．

②解：由①知直线l的方程为y＝mx－.

令x＝0，得y＝－，所以G.

又P，F，D，

所以S1＝·|GF|·m＝，

S2＝·|PM|·|m－x0|＝××＝.

所以＝.

设t＝2m2＋1.

则＝＝

＝－＋＋2，

当＝，即t＝2时，取得最大值，

此时m＝，满足(*)式，

所以点P的坐标为，

因此的最大值为，此时点P的坐标为.

课外拓展阅读

忽视讨论二次项系数致误

[典例]

已知点A(0,2)和双曲线x2－＝1，过点A与双曲线只有一个公共点的直线的条数为(

)

A．1

B．2

C．3

D．4

[解析]

设过点A(0,2)的直线为y＝kx＋2.

由得(4－k2)x2－4kx－8＝0.

当k2＝4，即k＝±2时，方程只有一解，即只有一个交点．

当k2≠4时，方程有一解时Δ＝(－4k)2－4×(4－k2)×(－8)＝0，

∴k2＝8，∴k＝±2k，k为切线的斜率．

综上，共有4条直线．故选D.

[易错分析]

得出方程(4－k2)x2－4kx－8＝0后，不考虑k2＝4，直接由Δ＝0，得k＝±2，错选B.

[答案]

D

温馨提醒

直线与双曲线只有一个公共点时，该直线可与双曲线相切(Δ＝0)，也可也其渐近线平行，故只有一个公共点不一定是相切关系，注意数形结合法的应用．